Encontre o comprimento de um arco do cicloide (0 <= theta <= 2 pi)
x=Lambda(theta-sen theta) y=Lambda(1-cos theta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento de um arco de uma cículoide no intervalo de . Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com o cálculo de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas definidas por funções paramétricas e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por S = integrala^b raiz( dxdtheta )^2 + ( dydtheta )^2 , dtheta e , o comprimento do arco de até é dado por:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de x = Lambda(theta - sin theta) e y = Lambda(1 - cos theta) em relação a dxdtheta = Lambda(1 - cos theta) .
Dadas as equações:
dydtheta = Lambda sin theta
Vamos derivar cada uma:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
S = integral0^2pi raiz( Lambda(1 - cos theta) )^2 + ( Lambda sin theta )^2 , dtheta
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
( Lambda(1 - cos theta) )^2 + ( Lambda sin theta )^2 = Lambda^2 (1 - 2cos theta + cos^2 theta) + Lambda^2 sin^2 theta

Passo 5

Simplificando mais:
Lambda^2 (1 - 2cos theta + cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que Lambda^2 (1 - 2cos theta + 1) = Lambda^2 (2 - 2cos theta) = 2Lambda^2 (1 - cos theta) , então:
S = integral0^2pi raiz2Lambda^2 (1 - cos theta) , dtheta = Lambda raiz2 integral0^2pi raiz1 - cos theta , dtheta
Agora, substituindo de volta na integral:

Passo 6

Para simplificar 1 - cos theta = 2 sin^2 ( theta2 ) , usamos a identidade trigonométrica:
raiz1 - cos theta = raiz2 sin ( theta2 )
Então:
S = Lambda raiz2 cdot raiz2 integral0^2pi sin ( theta2 ) , dtheta = 2Lambda integral0^2pi sin ( theta2 ) , dtheta
Substituindo de volta:
integral sin ( theta2 ) dtheta = -2 cos ( theta2 ) + C
Calculando a integral:
-2 cos ( pi ) + 2 cos ( 0 ) = -2 (-1) + 2 (1) = 2 + 2 = 4
Aplicando os limites de S = 2Lambda cdot 4 = 8Lambda a :
Então o comprimento do arco é:

Resposta

O comprimento do arco da cículoide no intervalo é .

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