Encontre o comprimento de um arco do cicloide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento de um arco de uma cículoide no intervalo de
. Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com o cálculo de comprimento de arco de curvas parametrizadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas definidas por funções paramétricas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva parametrizada. Se temos uma curva definida por
e
, o comprimento do arco
de
até
é dado por:
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Dadas as equações:
Vamos derivar cada uma:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Simplificando mais:
Sabemos que
, então:
Agora, substituindo de volta na integral:
Passo 6
Para simplificar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Substituindo de volta:
Calculando a integral:
Aplicando os limites de
a
:
Então o comprimento do arco é:
Resposta
O comprimento do arco da cículoide no intervalo
é
.