Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
(a) F(x, y, z, w)=(x, y, z, w)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F:R^4toR^4, dado por F(x,y,z,w)=(x,y,z,w), é conservativo. O conteúdo envolvido é a condição de campo conservativo em dimensões maiores que dois, usando igualdade de derivadas parciais mistas.

Passo 2

O domínio do campo é todo R^4, que é aberto e simplesmente conectado. Nessas condições, um campo vetorial é conservativo se e somente se suas derivadas parciais mistas satisfazem partial Fi/partial xj=partial Fj/partial xi para todos i,j.

Passo 3

Como F1=x, F2=y, F3=z, F4=w, temos
partial Fipartial xj=de
onde de é o delta de Kronecker. Para ineq j, ambas as derivadas mistas valem zero, logo as condições de simetria são satisfeitas.

Passo 4

Logo, o campo é conservativo. Para construir a potencial phi(x,y,z,w), integramos cada componente:
Integrando F1=x em relação a x obtemos phi=tfracx^22+C(y,z,w).
Exigindo partialphi/partial y=y C(y,z,w)=tfracy^22+D(z,w), e assim por diante para z e w.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é phi(x,y,z,w)=tfracx^2+y^2+z^2+w^22+constante.

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