Verifique em cada um dos casos abaixo se o campo vetorial dado é conservativo, justificando sua resposta.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
, dado por
, é conservativo. O conteúdo envolvido é a condição de campo conservativo em dimensões maiores que dois, usando igualdade de derivadas parciais mistas.
Passo 2
O domínio do campo é todo
, que é aberto e simplesmente conectado. Nessas condições, um campo vetorial é conservativo se e somente se suas derivadas parciais mistas satisfazem
para todos
.
Passo 3
Como
,
,
,
, temos
onde
é o delta de Kronecker. Para
, ambas as derivadas mistas valem zero, logo as condições de simetria são satisfeitas.
Passo 4
Logo, o campo é conservativo. Para construir a potencial
, integramos cada componente:
Integrando em relação a
obtemos
.
Exigindo dá
, e assim por diante para
e
.
Integrando
Exigindo
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é
.