Considere a superfície fechada S composta pela semiesfera inferior de raio 3 unida com a tampa circular da sua interseção com o plano plano z=0. Seja F(x, y, z)=(-y^2+2 x, x, 4 z) e suponhamos que S estiver orientada com o vetor normal exterior. Depois de calcular a integral de superfície integral duplaS Rot(F) cdot d S podemos concluir que dita integral é:
a. Negativa.
b. Maior que 100 pi.
c. Nenhuma das outras alternativas.
d. Nula
e. Impossível de ser calculada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície da rotacional do campo vetorial $ F(x, y, z) = (-y^{2} + 2x, , x, , 4z) $ sobre uma superfície fechada $ S $ composta pela semiesfera inferior de raio 3 e sua tampa circular no plano $ z = 0 $. Estamos trabalhando com conceitos de cálculo vetorial, especificamente com rotacional e integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar aplicar o teorema de Gauss (também conhecido como teorema da divergência) e entender as propriedades da rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a rotacional de um campo vetorial. A rotacional de $ F $, denotada por $ \nabla \times F $, mede a tendência de rotação do campo em torno de um ponto. Para calcular $ \nabla \times F $, usamos a seguinte fórmula:
F
Vamos calcular cada componente:
  1. $ \frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(4z) = 0 $
  2. $ \frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x) = 0 $
  3. $ \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-y^{2} + 2x) = 0 $
  4. $ \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(4z) = 0 $
  5. $ \frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1 $
  6. $ \frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-y^{2} + 2x) = -2y $
Substituindo na fórmula:
nabla times F

Passo 3

Agora, queremos calcular a integral de superfície $ \iint_{S} \nabla \times F \cdot dS $. Mas antes, vamos lembrar do teorema de Gauss para rotacional. Na verdade, o teorema de Stokes é mais apropriado aqui, mas como estamos lidando com uma superfície fechada, podemos utilizar um conceito relacionado.
Para uma superfície fechada $ S $, a integral da rotacional de um campo vetorial sobre $ S $ é igual a zero. Isso ocorre porque a borda de uma superfície fechada é vazia (não há arestas para o campo “rotacionar” em torno), então pelo teorema de Stokes:
integral duplaS nabla times F cdot dS

Resposta

d. Nula.

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