Encontrar a divergência e o rotacional do campo vetorial dado.
a) f(x, y, z)=(2 x+4 z, y-z, 3 x-y z)

Passo 1

Resumo do enunciado e definições: temos o campo vetorial vec f(x,y,z)=(2x+4z, y-z, 3x-yz). Para achar a divergência e o rotacional, usamos as definições abaixo, que vêm do cálculo de derivadas parciais de campos vetoriais:
div,vec f = partial f1partial x + partial f2partial y + partial f3partial z,
nabla times vec f = l(partial f3partial y - partial f2partial z,; partial f1partial z - partial f3partial x,; partial f2partial x - partial f1partial yr)

Passo 2

Cálculo da divergência: aplico cada derivada parcial no componente correspondente:
partial (2x+4z)partial x = 2, partial (y - z)partial y = 1, partial (3x - yz)partial z = -y
Somando, fica
div,vec f = 2 + 1 - y = 3 - y

Passo 3

Cálculo do rotacional: vejo cada componente usando a fórmula:
  • Componente x:
partial f3partial y - partial f2partial z = (-z) - (-1) = 1 - z
  • Componente y:
partial f1partial z - partial f3partial x = 4 - 3 = 1
  • Componente z:
partial f2partial x - partial f1partial y = 0 - 0 = 0
Logo,
nabla times vec f = (1 - z,;1,;0)

Passo 4

Interpretação rápida: a divergência 3 - y mostra a variação local de fluxo do campo, e o rotacional (1-z,1,0) indica a tendência de giro em cada direção.

Resposta

Divergência: 3 - y. Rotacional: (1 - z,;1,;0).

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