Usando o Teorema 4.10.3, o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?
c) f(x, y)=(x(x^2+y^2)^3 / 2, y(x^2+y^2)^3 / 2) em D=(x, y) mid x^2+y^2<1

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial vec f(x,y)=l(P(x,y),Q(x,y)r) = l(tfracx(x^2+y^2)^3/2,tfracy(x^2+y^2)^3/2r) definido em D=(x,y)mid x^2+y^2<1. O conteúdo é o Teorema 4.10.3, que afirma que num domínio aberto e simplesmente conectado um campo C^1 é conservativo se e somente se sua rotação (curl) é nula. Vamos aplicar o teste de rotação.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de P e Q:
partial Ppartial y =partialpartial yl(x(x^2+y^2)^3/2r) = xcdotl(-tfrac32r)(x^2+y^2)^-5/2cdot2y = -3xy,(x^2+y^2)^-5/2,
partial Qpartial x =partialpartial xl(y(x^2+y^2)^3/2r) = ycdotl(-tfrac32r)(x^2+y^2)^-5/2cdot2x = -3xy,(x^2+y^2)^-5/2
Portanto a rotação é
partial Qpartial x-partial Ppartial y = -3xy,(x^2+y^2)^-5/2 - l(-3xy,(x^2+y^2)^-5/2r) =0

Passo 3

Observamos que o campo é C^1 em Dsetminus(0,0), mas como em (0,0) há singularidade, o domínio efetivo não é simplesmente conectado (é o disco pontuado). Logo, embora a rotação se anule em todo o domínio de definição, não podemos usar o teorema para garantir que vec f seja conservativo em D.

Resposta

A rotação de vec f é zero em seu domínio de definição, mas como esse domínio não é simplesmente conectado (há singularidade na origem), não podemos afirmar, via Teorema 4.10.3, que o campo seja conservativo em D.

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