Usando o Teorema 4.10.3, o que se pode afirmar sobre o campo vetorial dado?
c)
em
c)
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido em
. O conteúdo é o Teorema 4.10.3, que afirma que num domínio aberto e simplesmente conectado um campo
é conservativo se e somente se sua rotação (curl) é nula. Vamos aplicar o teste de rotação.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Portanto a rotação é
Passo 3
Observamos que o campo é
em
, mas como em
há singularidade, o domínio efetivo não é simplesmente conectado (é o disco pontuado). Logo, embora a rotação se anule em todo o domínio de definição, não podemos usar o teorema para garantir que
seja conservativo em
.
Resposta
A rotação de
é zero em seu domínio de definição, mas como esse domínio não é simplesmente conectado (há singularidade na origem), não podemos afirmar, via Teorema 4.10.3, que o campo seja conservativo em
.