Considere a superficie da forma
X(u, v)=(u, v, h(u)+\ell(v))
onde h e \ell são funções reais diferenciáveis.
Verifique que X é minima se, e só se,
\frac{h^{\prime \prime}}{1+\left(h^{\prime}\right)^{2}}=-\frac{\ell^{\prime \prime}}{1+\left(\ell^{\prime}\right)^{2}}=a
onde a é uma constante.

Passo 1

O enunciado define a superfície \r
X(u,v) = \bigl(u,\;v,\;h(u)+\ell(v)\bigr)\r
e pede para mostrar que ela é mínima (isto é, tem curvatura média H=0) se, e somente se \r
\frac{h''(u)}{1+\bigl(h'(u)\bigr)^{2}} \;=\; -\, \frac{\ell''(v)}{1+\bigl(\ell'(v)\bigr)^{2}} \;=\; a\r
onde a é constante. Para isso vamos calcular as formas fundamentais e a curvatura média de X.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais e os coeficientes da primeira forma fundamental.
X_u = (1,\,0,\,h'(u)), \quad X_v = (0,\,1,\,\ell'(v)).
Então
E = \langle X_u,X_u\rangle = 1 + \bigl(h'(u)\bigr)^{2}, \quad F = \langle X_u,X_v\rangle = h'(u)\,\ell'(v), \quad G = \langle X_v,X_v\rangle = 1 + \bigl(\ell'(v)\bigr)^{2}.
O determinante do metrico é
EG - F^{2} = \bigl(1+(h')^{2}\bigr)\bigl(1+(\ell')^{2}\bigr) - \bigl(h'\,\ell'\bigr)^{2} = 1 + \bigl(h'(u)\bigr)^{2} + \bigl(\ell'(v)\bigr)^{2}.

Passo 3

O vetor normal unitário é
N = \frac{X_u \times X_v}{\sqrt{EG-F^2}} = \frac{(-\,h'(u),\,-\,\ell'(v),\,1)}{\sqrt{1+(h')^{2}+(\ell')^{2}}}.
As segundas derivadas são
X_{uu} = (0,0,h''(u)), \quad X_{uv} = (0,0,0), \quad X_{vv} = (0,0,\ell''(v)).
Logo os coeficientes da segunda forma fundamental são
e = \langle X_{uu},N\rangle = \frac{h''(u)}{\sqrt{1+(h')^{2}+(\ell')^{2}}}, \quad f = 0, \quad g = \langle X_{vv},N\rangle = \frac{\ell''(v)}{\sqrt{1+(h')^{2}+(\ell')^{2}}}.

Passo 4

A curvatura média de uma superfície parametrizada é
H = \frac{eG - 2\,f\,F + gE}{2\,(EG - F^2)}.
Como f=0, fica
H = \frac{e\,G + g\,E}{2\,(EG - F^2)} = \frac{\frac{h''}{w}\bigl(1+(\ell')^{2}\bigr) + \frac{\ell''}{w}\bigl(1+(h')^{2}\bigr)} {2\,w^{2}},
onde w = \sqrt{1+(h')^{2}+(\ell')^{2}}. Como EG-F^{2}=w^{2}, obtemos
H = \frac{h''\bigl(1+(\ell')^{2}\bigr) + \ell''\bigl(1+(h')^{2}\bigr)}{2\,w^{3}}.
Para X ser mínima precisamos de H=0, isto é
h''(u)\,\bigl(1+(\ell'(v))^{2}\bigr) \;+\; \ell''(v)\,\bigl(1+(h'(u))^{2}\bigr) \;=\;0.

Passo 5

Reescrevendo
\frac{h''(u)}{1+(h'(u))^{2}} \;+\; \frac{\ell''(v)}{1+(\ell'(v))^{2}} \;=\;0.
O termo \tfrac{h''(u)}{1+(h')^{2}} depende só de u e \tfrac{\ell''(v)}{1+(\ell')^{2}} depende só de v, mas sua soma é zero para todo par (u,v). Isso só é possível se cada parcela for uma constante, digamos
\frac{h''(u)}{1+(h'(u))^{2}} = a, \qquad \frac{\ell''(v)}{1+(\ell'(v))^{2}} = -\,a,
com a constante. Assim chegamos exatamente à condição desejada.

Resposta

\frac{h''(u)}{1+\bigl(h'(u)\bigr)^{2}} \;=\; -\, \frac{\ell''(v)}{1+\bigl(\ell'(v)\bigr)^{2}} \;=\; a,
onde a é uma constante.

Exercícios relacionados