Considere a superficie da forma
onde
e
são funções reais diferenciáveis.
Verifique que
é minima se, e só se,
onde
é uma constante.
Verifique que
Passo 1
O enunciado define a superfície \r
e pede para mostrar que ela é mínima (isto é, tem curvatura média
) se, e somente se \r
onde
é constante. Para isso vamos calcular as formas fundamentais e a curvatura média de
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais e os coeficientes da primeira forma fundamental.
Então
O determinante do metrico é
Passo 3
O vetor normal unitário é
As segundas derivadas são
Logo os coeficientes da segunda forma fundamental são
Passo 4
A curvatura média de uma superfície parametrizada é
Como
, fica
onde
. Como
, obtemos
Para
ser mínima precisamos de
, isto é
Passo 5
Reescrevendo
O termo
depende só de
e
depende só de
, mas sua soma é zero para todo par
. Isso só é possível se cada parcela for uma constante, digamos
com
constante. Assim chegamos exatamente à condição desejada.
Resposta
onde
é uma constante.