Ache transformada inversa de Laplace pela convolução:
L^{-1}\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\} \right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar
L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr\}
usando o teorema da convolução. Esse teorema afirma que, se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} \quad\text{e}\quad G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\} = (f*g)(t) =\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Observamos que
\frac{1}{(s+1)^{2}} =\frac{1}{s+1}\;\cdot\;\frac{1}{s+1}.
Como já sabemos que
\mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s+1},
podemos identificar
F(s)=\frac{1}{s+1}, \quad G(s)=\frac{1}{s+1}
com
f(t)=e^{-t}, \quad g(t)=e^{-t},
para t\ge0.

Passo 3

Aplicando a definição de convolução, temos
(f*g)(t) =\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau =\int_{0}^{t}e^{-\tau}\;e^{-(t-\tau)}\,d\tau.

Passo 4

No integrando, e^{-\tau}e^{-(t-\tau)}=e^{-t}. Logo,
(f*g)(t) =e^{-t}\int_{0}^{t}d\tau =e^{-t}\bigl[t-0\bigr] =t\,e^{-t}.

Resposta

L^{-1}\Bigl\{\frac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr\}(t) = t\,e^{-t},\quad t\ge0.

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