Sejam A, B \subset C abertos, considere as funções de variáveis complexas f l: A \rightarrow C, f 2: A \rightarrow C e g: B \rightarrow C, sendo que f l: A \subset B. Suponha que as funções f 1 e f 2 são ambas contínuas em z 0 \in A, e a função g é contínua em f 1(z 0).
Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem:
I. Sejam \mathrm{f} 1(\mathrm{z}), \mathrm{f} 2(\mathrm{z}) como apresentados, entäo \mathrm{f} 1(\mathrm{z})+\mathrm{f} 2(\mathrm{z})=(\mathrm{f} 1+\mathrm{f} 2)(\mathrm{z}) é contínua.
II. Seja fl como apresentado, sendo \mathrm{fl}(\mathrm{z}) \neq 0, então 1 / \mathrm{fl}(\mathrm{z}) é contínua.
III. Sejam fl(z), g(z) como apresentados, então g o fl: A \rightarrow C é contínua em z0.
Está correto o que se afirma em:
Escolha uma opção:
a. I, II e III.
b. I e III, apenas.
c. II e III, apenas.
d. I, apenas.
e. I e II, apenas.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são abertos em \mathbb C, que \,f_1,f_2\colon A\to\mathbb C são contínuas em z_0\in A, que \,g\colon B\to\mathbb C é contínua em f_1(z_0) e que f_1(A)\subset B.
Precisamos verificar se as três operações abaixo preservam continuidade em z_0:
I. soma \,f_1+f_2,
II. inversa 1/f_1 (quando f_1(z)\neq0),
III. composição g\circ f_1.

Passo 2

Propriedade da soma: se \,f_1 e \,f_2 são contínuas em z_0, então para todo \varepsilon>0 existem \delta_1,\delta_2>0 tais que
|f_1(z)-f_1(z_0)|<\tfrac\varepsilon2 \quad\text{sempre que}\quad |z-z_0|<\delta_1,
|f_2(z)-f_2(z_0)|<\tfrac\varepsilon2 \quad\text{sempre que}\quad |z-z_0|<\delta_2.
Tomando \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, temos
|(f_1+f_2)(z)-(f_1+f_2)(z_0)| \le|f_1(z)-f_1(z_0)|+|f_2(z)-f_2(z_0)|<\varepsilon.
Logo a soma é contínua em z_0. Isso prova a afirmativa I.

Passo 3

Inversa de função não-nula: como \,f_1 é contínua em z_0 e f_1(z_0)\neq0, existe \delta>0 tal que |f_1(z)-f_1(z_0)|<|f_1(z_0)|/2 sempre que |z-z_0|<\delta. Isso garante |f_1(z)|>\tfrac12|f_1(z_0)|>0 nesse disco, ou seja, f_1(z)\neq0 perto de z_0.
Agora use a continuidade de h(w)=1/w em w=f_1(z_0)\neq0: para todo \varepsilon>0 existe \eta>0 tal que
\bigl|w-w_0\bigr|<\eta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|\tfrac1w-\tfrac1{w_0}\bigr|<\varepsilon,
com w_0=f_1(z_0). Como f_1 aproxima z_0 em w_0, existe \delta' tal que |f_1(z)-w_0|<\eta sempre que |z-z_0|<\delta'. Escolhendo \delta''=\min\{\delta,\delta'\}, concluímos que 1/f_1 é contínua em z_0. Isso prova a afirmativa II.

Passo 4

Composição de contínuas: temos \,f_1 contínua em z_0 e g contínua em f_1(z_0), além de f_1(z)\in B para z\in A. Então, dado \varepsilon>0, existe \eta>0 tal que
|w-f_1(z_0)|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |g(w)-g(f_1(z_0))|<\varepsilon.
Como f_1 é contínua, existe \delta>0 tal que |f_1(z)-f_1(z_0)|<\eta sempre que |z-z_0|<\delta. Logo
|(g\circ f_1)(z)-(g\circ f_1)(z_0)| = |g(f_1(z))-g(f_1(z_0))| < \varepsilon
sempre que |z-z_0|<\delta. Portanto g\circ f_1 é contínua em z_0, provando a afirmativa III.

Passo 5

Como todas as três propriedades I, II e III se verificam, a alternativa correta é a que as inclui todas.

Resposta

(a) I, II e III.

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