Considere uma superfície, no formato de paraboloide, cuja equação seja dada por: z = 4 - x² - 3y². A partir dessa superfície, um dos estudos que pode ser realizado consiste na avaliação de planos tangentes à superfície em diferentes pontos. Nesse contexto, qual é a equação da reta tangente à superfície passando pelo ponto P(1, -1, 0)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente a uma superfície paraboloide definida por $ z = 4 - x^2 - 3y^2 $ no ponto $ P(1, -1, 0) $. Vamos usar cálculos de derivadas parciais e geometria analítica para resolver isso. Precisaremos entender como encontrar a reta tangente a uma superfície em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto $ P(1, -1, 0) $ está realmente na superfície dada. Substituímos os valores de $ x $ e $ y $ na equação da superfície:
P(1, -1, 0)
Então, $ P(1, -1, 0) $ está na superfície. Isso é importante porque só podemos encontrar uma reta tangente em pontos que pertencem à superfície.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente no ponto $ P $. Para isso, vamos primeiro encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto $ P $. A derivada parcial nos ajuda a determinar a inclinação da superfície em cada direção.
A função que define a superfície é $ z = 4 - x^2 - 3y^2 $. Vamos reescrevê-la como $ f(x, y, z) = z - 4 + x^2 + 3y^2 = 0 $.

Passo 4

Calculamos o gradiente de $ f $, que nos dá a normal ao plano tangente:
f
No ponto $ P(1, -1, 0) $, o gradiente fica:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 6y, 1)

Passo 5

Com o gradiente, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
nabla f cdot (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
Substituindo os valores:
2(x - 1) - 6(y + 1) + 1(z - 0) = 0
Simplificando:
2x - 2 - 6y - 6 + z = 0 implies 2x - 6y + z - 8 = 0
Essa é a equação do plano tangente à superfície no ponto $ P $.

Passo 6

Agora, queremos encontrar a reta tangente à superfície que passa pelo ponto $ P $. Uma reta no espaço pode ser parametrizada por:
P
Onde:
  • $ \vec{r}_0 $ é o ponto inicial (no caso, $ P $)
  • $ \vec{v} $ é o vetor direção da reta
  • $ t $ é o parâmetro
Precisamos encontrar um vetor direção $ \vec{v} $ que esteja no plano tangente. Isso significa que $ \vec{v} $ deve ser perpendicular ao vetor normal do plano, que é $ \nabla f(1, -1, 0) = (2, -6, 1) $.

Passo 7

Para encontrar $ \vec{v} $, buscamos um vetor que satisfaça a condição de ser perpendicular ao normal:
v
Podemos escolher valores para $ v_x $ e $ v_y $ e resolver para $ v_z $. Por exemplo, se escolhermos $ v_x = 3 $ e $ v_y = 1 $:
v cdot nabla f = 0 implies 2vx - 6vy + vz = 0
Então, um vetor direção possível é $ \vec{v} = (3, 1, 0) $.

Passo 8

Com o ponto $ P(1, -1, 0) $ e o vetor direção $ \vec{v} = (3, 1, 0) $, a equação paramétrica da reta tangente é:
P(1, -1, 0)

Resposta

A equação da reta tangente à superfície no ponto $ P(1, -1, 0) $ é:
P(1, -1, 0)

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