Considere uma superfície, no formato de paraboloide, cuja equação seja dada por: z = 4 - x² - 3y². A partir dessa superfície, um dos estudos que pode ser realizado consiste na avaliação de planos tangentes à superfície em diferentes pontos. Nesse contexto, qual é a equação da reta tangente à superfície passando pelo ponto P(1, -1, 0)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente a uma superfície paraboloide definida por $ z = 4 - x^2 - 3y^2 $ no ponto $ P(1, -1, 0) $. Vamos usar cálculos de derivadas parciais e geometria analítica para resolver isso. Precisaremos entender como encontrar a reta tangente a uma superfície em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o ponto $ P(1, -1, 0) $ está realmente na superfície dada. Substituímos os valores de $ x $ e $ y $ na equação da superfície:
Então, $ P(1, -1, 0) $ está na superfície. Isso é importante porque só podemos encontrar uma reta tangente em pontos que pertencem à superfície.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente no ponto $ P $. Para isso, vamos primeiro encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto $ P $. A derivada parcial nos ajuda a determinar a inclinação da superfície em cada direção.
A função que define a superfície é $ z = 4 - x^2 - 3y^2 $. Vamos reescrevê-la como $ f(x, y, z) = z - 4 + x^2 + 3y^2 = 0 $.
Passo 4
Calculamos o gradiente de $ f $, que nos dá a normal ao plano tangente:
No ponto $ P(1, -1, 0) $, o gradiente fica:
Passo 5
Com o gradiente, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação do plano tangente à superfície no ponto $ P $.
Passo 6
Agora, queremos encontrar a reta tangente à superfície que passa pelo ponto $ P $. Uma reta no espaço pode ser parametrizada por:
Onde:
- $ \vec{r}_0 $ é o ponto inicial (no caso, $ P $)
- $ \vec{v} $ é o vetor direção da reta
- $ t $ é o parâmetro
Precisamos encontrar um vetor direção $ \vec{v} $ que esteja no plano tangente. Isso significa que $ \vec{v} $ deve ser perpendicular ao vetor normal do plano, que é $ \nabla f(1, -1, 0) = (2, -6, 1) $.
Passo 7
Para encontrar $ \vec{v} $, buscamos um vetor que satisfaça a condição de ser perpendicular ao normal:
Podemos escolher valores para $ v_x $ e $ v_y $ e resolver para $ v_z $. Por exemplo, se escolhermos $ v_x = 3 $ e $ v_y = 1 $:
Então, um vetor direção possível é $ \vec{v} = (3, 1, 0) $.
Passo 8
Com o ponto $ P(1, -1, 0) $ e o vetor direção $ \vec{v} = (3, 1, 0) $, a equação paramétrica da reta tangente é:
Resposta
A equação da reta tangente à superfície no ponto $ P(1, -1, 0) $ é: