Uma bola maciça, totalmente vedada, em formato de uma esfera perfeita, de diâmetro igual a 2 metros, foi lançada em uma piscina, de base retangular com dimensões medindo 5 metros e 12 metros e com água até a altura de 1,2 metros. Sabendo que a bola ficou completamente submersa pela água, quantos metros o nível da água se elevará?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos uma bola totalmente vedada, que é uma esfera perfeita com diâmetro de 2 metros. Essa bola foi lançada numa piscina que tem base retangular medindo 5 metros por 12 metros e está com água até uma altura de 1,2 metros. A bola ficou completamente submersa na água, e queremos descobrir quanto o nível da água vai se elevar.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre volume de uma esfera e como o volume deslocado afeta o nível da água em um recipiente. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da esfera (a bola). A fórmula para o volume $ V $ de uma esfera é:
Onde $ r $ é o raio da esfera. Sabemos que o diâmetro da bola é 2 metros, então o raio $ r $ é metade disso:
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 3
Esse volume da esfera é o volume de água que será deslocado quando a bola é totalmente submersa na piscina. Quando a bola entra na água, ela empurra a água para cima, fazendo o nível da água subir.
Para encontrar quanto o nível da água vai subir, precisamos saber a área da base da piscina. A área $ A $ de um retângulo é dada por:
No caso, a base da piscina mede 5 metros por 12 metros:
Passo 4
Agora, para descobrir a altura $ h $ que a água vai subir, usamos a relação entre o volume deslocado $ V $, a área da base $ A $ e a altura da elevação:
Queremos encontrar $ h $, então rearranjamos a fórmula:
Substituímos os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor numérico de $ h $. Sabemos que $ \pi $ aproximadamente é 3,1416:
Convertendo para centímetros (já que 1 metro = 100 centímetros):
Resposta
O nível da água na piscina se elevará aproximadamente 7 centímetros quando a bola for completamente submersa.