1. Considere F(x, y, z)=x z i+y z j+z k e a superfície lateral do cilindro x^2+y^2=1, com 0 <= z <= 2, orientada para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=x,z,i+y,z,j+z,k pela superfície lateral do cilindro x^2+y^2=1 com 0<= z<=2, orientada para fora. O conteúdo é integral de superfície (fluxo) de campo vetorial, que vamos resolver parametrizando a superfície e usando
integral duplaSFcdotn,dS
na forma paramétrica
integral duplaDF(r(u,v))cdotl(rutimesrvr),du,dv

Passo 2

Parametrizamos a lateral do cilindro por
r(theta,z)=l(costheta,;sintheta,;zr),
com 0<=theta<=2pi e 0<= z<=2. Calculamos os vetores tangentes
rtheta=(-sintheta,costheta,0), rz=(0,0,1)
O vetor normal orientado para fora é dado por
rthetatimesrz =( -sintheta,;costheta,0)times(0,0,1) =(costheta,sintheta,0)

Passo 3

Em coordenadas paramétricas, F=l(x,z,y,z,zr) vira
F(r(theta,z)) =l(costheta;z,;sintheta;z,;zr)
Fazemos o produto escalar com o vetor normal:
Fcdot(rthetatimesrz) =(costheta,z)costheta+(sintheta,z)sintheta =z(cos^2theta+sin^2theta)=z

Passo 4

O fluxo é
integral duplaSFcdotn,dS =integral0^2piintegral0^2z;dz,dtheta =integral0^2pil[tfracz^22r]0^2dtheta =integral0^2pi2,dtheta =4pi

Resposta

O fluxo de F pela superfície lateral do cilindro é 4pi.

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