Encontre a soma das séries abaixo
(raiz3-raiz2)+(raiz3-raiz2)^2+(raiz3-raiz2)^3+ldots

Passo 1

O enunciado pede a soma infinita da série
(raiz3-raiz2)+(raiz3-raiz2)^2+(raiz3-raiz2)^3+cdots
Este é um caso de série geométrica infinita, onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão fixa.

Passo 2

Identificamos a razão da série como
a = raiz3-raiz2
e o primeiro termo também é a. Para que a soma infinita exista, precisamos de lvert arvert<1. Como
raiz3approx1,732, raiz2approx1,414Longrightarrow aapprox0,318<1,
a série realmente converge.

Passo 3

A soma de uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão a (mesmo valor) é
S=a1-a
Substituindo a=raiz3-raiz2, fica
S = raiz3-raiz2,1 - (raiz3-raiz2), = raiz3-raiz21 - raiz3 + raiz2

Passo 4

Para simplificar, racionalizamos o denominador. Multiplicamos numerador e denominador por 1-raiz3-raiz2:
S = (raiz3-raiz2)(1-raiz3-raiz2)(1-raiz3+raiz2)(1-raiz3-raiz2) = raiz6+raiz2-24

Resposta

boxedS = raiz6 + raiz2 - 24

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