Considere a superfície S obtida pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de uma função f, com derivada contínua e f(x) >= 0 em[a, b]. Sabendo que a área da superfície S é dada por
A=2 pi integrala^b f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
calcule a área das superfícies geradas pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico das funções:
(a) f(x)=raiz4-x^2, com x in[-1,1]. Resposta: 8 pi.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a área da superfície obtida pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico de f(x)=raiz4-x^2 no intervalo [-1,1]. O conteúdo é área de superfícies de revolução e usaremos a fórmula

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como f(x)=raiz4-x^2, temos
f'(x)=ddx(4-x^2)^1/2=-xraiz4-x^2
Em seguida, analisamos raiz1+[f'(x)]^2:
1+[f'(x)]^2=1+x^24-x^2=4-x^2+x^24-x^2=44-x^2,
então raiz1+[f'(x)]^2=2raiz4-x^2

Passo 3

Substituímos f e raiz1+[f']^2 na integral de área. O integrando fica
2pi,f(x)raiz1+[f'(x)]^2=2piraiz4-x^2cdot2raiz4-x^2=4pi

Passo 4

Como o integrando é constante, a área é
A=integral-1^1 4pi,dx=4pil[xr]-1^1=4pi(1-(-1))=8pi

Resposta

8\pi

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