Mostre que
é um número irracional.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a raiz quadrada de 2, representada por
, é um número irracional. Isso significa que
não pode ser expresso como uma fração
onde
e
são inteiros e
. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de prova por contradição.
Passo 2
Vamos supor, para fins de contradição, que
seja racional. Ou seja, podemos escrever
, onde
e
são inteiros positivos e a fração está reduzida aos seus menores termos (não há fatores comuns entre
e
).
Passo 3
Ao elevar ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 4
Isso implica que
é um número par, pois é igual a 2 vezes algum número inteiro. Sabemos que se
é par, então
também deve ser par (porque o quadrado de um número ímpar é ímpar).
Passo 5
Se
é par, podemos escrever
, onde
é um inteiro. Substituindo na equação
:
Isso mostra que
também é par, e portanto
também é par.
Passo 6
Assim, tanto
quanto
são pares, o que significa que ambos são divisíveis por 2. Isso contraria a nossa suposição inicial de que a fração
estava reduzida aos menores termos, já que ambos poderiam ser divididos por 2.
Resposta
Portanto, nossa suposição de que
é racional leva a uma contradição. Assim,
é um número irracional.