Mostre que raiz2 é um número irracional.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a raiz quadrada de 2, representada por raiz2, é um número irracional. Isso significa que raiz2 não pode ser expresso como uma fração ab onde a e b são inteiros e b neq 0. Para resolver isso, vamos utilizar a técnica de prova por contradição.

Passo 2

Vamos supor, para fins de contradição, que raiz2 seja racional. Ou seja, podemos escrever raiz2 = ab, onde a e b são inteiros positivos e a fração está reduzida aos seus menores termos (não há fatores comuns entre a e b).

Passo 3

Ao elevar ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
2 = a^2b^2
Multiplicando ambos os lados por b^2 para eliminar a fração:
2b^2 = a^2

Passo 4

Isso implica que a^2 é um número par, pois é igual a 2 vezes algum número inteiro. Sabemos que se a^2 é par, então a também deve ser par (porque o quadrado de um número ímpar é ímpar).

Passo 5

Se a é par, podemos escrever a = 2k, onde k é um inteiro. Substituindo na equação 2b^2 = a^2:
2b^2 = (2k)^2 2b^2 = 4k^2 b^2 = 2k^2
Isso mostra que b^2 também é par, e portanto b também é par.

Passo 6

Assim, tanto a quanto b são pares, o que significa que ambos são divisíveis por 2. Isso contraria a nossa suposição inicial de que a fração ab estava reduzida aos menores termos, já que ambos poderiam ser divididos por 2.

Resposta

Portanto, nossa suposição de que raiz2 é racional leva a uma contradição. Assim, raiz2 é um número irracional.

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