Considere os vetores \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,2,-1) e o ponto P=(1,0,2) em \mathbb{R}^{3}.
Determine equações paramétricas para o mesmo plano que passa pelo ponto P e é paralelo aos vetores \overrightarrow{u^{\prime}} e \vec{v}.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações:
O vetor \vec{u}=(2,-1,3).
O vetor \vec{v}=(1,2,-1).
O ponto P=(1,0,2) em \mathbb{R}^3.
O que é pedido:
Determinar equações paramétricas do plano que passa por P e é paralelo aos vetores \overrightarrow{u'} e \vec{v}.
Observação sobre uma possível ambiguidade: o enunciado menciona \overrightarrow{u'} mas foi fornecido apenas \vec{u}. Vou assumir que \overrightarrow{u'}=\vec{u}, ou seja, que os dois vetores diretores do plano são \vec{u} e \vec{v}.
Passo 2
Conceito útil (aula rápida): uma forma prática de representar um plano em \mathbb{R}^3 é por sua equação vetorial paramétrica. Se um plano passa por um ponto P com posição vetorial \vec{r}_0 e é paralelo a dois vetores não colineares \vec{a} e \vec{b}, então qualquer ponto \vec{r} do plano pode ser escrito como
\vec{r}=\vec{r}_0+s\vec{a}+t\vec{b},
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros. Aqui \vec{r}_0 é o vetor posição de P, e s\vec{a}+t\vec{b} gera todo o plano porque combina as direções \vec{a} e \vec{b}.
Antes de usar essa fórmula, precisamos garantir que \vec{u} e \vec{v} não sejam colineares (se fossem colineares, não gerariam um plano, apenas uma reta).
Passo 3
Verificação de não-colinearidade (como checar): dois vetores são colineares se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Comparando coordenadas de \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,2,-1) vemos que os quocientes das coordenadas correspondentes não são todos iguais:
esses valores são diferentes, portanto \vec{u} e \vec{v} não são múltiplos um do outro e são não-colineares. Logo podem servir como vetores diretores do plano.
Como verificação extra (importante conceitualmente): o produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} fornece um vetor normal ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}. Calculemos:
Um vetor normal mais simples, proporcional, é \vec{n}=(-1,1,1). Esse vetor \vec{n} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} (pode verificar que \vec{n}\cdot\vec{u}=0 e \vec{n}\cdot\vec{v}=0), o que confirma que \vec{u} e \vec{v} geram um plano.
Passo 4
Agora construímos a equação paramétrica do plano usando a fórmula da Passo 2. O vetor posição de P é \vec{r}_0=(1,0,2). Tomando \vec{a}=\vec{u} e \vec{b}=\vec{v}, obtemos a equação vetorial
Essa é a forma vetorial paramétrica: cada par (s,t) dá um ponto do plano.
Para transformar em equações paramétricas de coordenadas (o que normalmente se pede), basta escrever cada componente:
componente x:
x=1+2s+t,
componente y:
y=0- s+2t=-s+2t,
componente z:
z=2+3s- t.
Essas três equações juntas descrevem o mesmo plano: variando s e t obtém-se todos os pontos do plano.
Passo 5
Comentário prático para a prova (dica amiga): na hora da prova escreva diretamente a forma vetorial \vec{r}=\vec{r}_0+s\vec{u}+t\vec{v} e se pedirem componente, exponha as três equações x, y, z como acima. Se quiser verificar rapidamente que está correto, calcule o produto escalar do vetor normal (-1,1,1) com (x-1,y-0,z-2) para checar que a equação escalar do plano é satisfeita: