Considere os vetores \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,2,-1) e o ponto P=(1,0,2) em \mathbb{R}^{3}.
Determine equações paramétricas para o mesmo plano que passa pelo ponto P e é paralelo aos vetores \overrightarrow{u^{\prime}} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • O vetor \vec{u}=(2,-1,3).
  • O vetor \vec{v}=(1,2,-1).
  • O ponto P=(1,0,2) em \mathbb{R}^3.
O que é pedido:
  • Determinar equações paramétricas do plano que passa por P e é paralelo aos vetores \overrightarrow{u'} e \vec{v}.
Observação sobre uma possível ambiguidade: o enunciado menciona \overrightarrow{u'} mas foi fornecido apenas \vec{u}. Vou assumir que \overrightarrow{u'}=\vec{u}, ou seja, que os dois vetores diretores do plano são \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Conceito útil (aula rápida): uma forma prática de representar um plano em \mathbb{R}^3 é por sua equação vetorial paramétrica. Se um plano passa por um ponto P com posição vetorial \vec{r}_0 e é paralelo a dois vetores não colineares \vec{a} e \vec{b}, então qualquer ponto \vec{r} do plano pode ser escrito como
\vec{r}=\vec{r}_0+s\vec{a}+t\vec{b},
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros. Aqui \vec{r}_0 é o vetor posição de P, e s\vec{a}+t\vec{b} gera todo o plano porque combina as direções \vec{a} e \vec{b}.
Antes de usar essa fórmula, precisamos garantir que \vec{u} e \vec{v} não sejam colineares (se fossem colineares, não gerariam um plano, apenas uma reta).

Passo 3

Verificação de não-colinearidade (como checar): dois vetores são colineares se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Comparando coordenadas de \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,2,-1) vemos que os quocientes das coordenadas correspondentes não são todos iguais:
\frac{2}{1}=2,\qquad \frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2},\qquad \frac{3}{-1}=-3,
esses valores são diferentes, portanto \vec{u} e \vec{v} não são múltiplos um do outro e são não-colineares. Logo podem servir como vetores diretores do plano.
Como verificação extra (importante conceitualmente): o produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} fornece um vetor normal ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}. Calculemos:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (\!-1\cdot(-1)-3\cdot2)\mathbf{i}- (2\cdot(-1)-3\cdot1)\mathbf{j}+ (2\cdot2-(-1)\cdot1)\mathbf{k}.
Fazendo as contas:
\vec{u}\times\vec{v}=(-5,\,5,\,5).
Um vetor normal mais simples, proporcional, é \vec{n}=(-1,1,1). Esse vetor \vec{n} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} (pode verificar que \vec{n}\cdot\vec{u}=0 e \vec{n}\cdot\vec{v}=0), o que confirma que \vec{u} e \vec{v} geram um plano.

Passo 4

Agora construímos a equação paramétrica do plano usando a fórmula da Passo 2. O vetor posição de P é \vec{r}_0=(1,0,2). Tomando \vec{a}=\vec{u} e \vec{b}=\vec{v}, obtemos a equação vetorial
\vec{r}=(1,0,2)+s(2,-1,3)+t(1,2,-1),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Essa é a forma vetorial paramétrica: cada par (s,t) dá um ponto do plano.
Para transformar em equações paramétricas de coordenadas (o que normalmente se pede), basta escrever cada componente:
  • componente x:
x=1+2s+t,
  • componente y:
y=0- s+2t=-s+2t,
  • componente z:
z=2+3s- t.
Essas três equações juntas descrevem o mesmo plano: variando s e t obtém-se todos os pontos do plano.

Passo 5

Comentário prático para a prova (dica amiga): na hora da prova escreva diretamente a forma vetorial \vec{r}=\vec{r}_0+s\vec{u}+t\vec{v} e se pedirem componente, exponha as três equações x, y, z como acima. Se quiser verificar rapidamente que está correto, calcule o produto escalar do vetor normal (-1,1,1) com (x-1,y-0,z-2) para checar que a equação escalar do plano é satisfeita:
-1(x-1)+1(y)+1(z-2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad -x+y+z-1=0.
Essa é uma forma alternativa (implícita) do mesmo plano.

Resposta

\vec{r}=(1,0,2)+s(2,-1,3)+t(1,2,-1)
\begin{cases} x=1+2s+t\\[4pt] y=-s+2t\\[4pt] z=2+3s-t \end{cases}

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