Considere os vetores
e
e o ponto
em
.
Determine uma equação cartesiana para o plano que passa pelo ponto
e é paralelo aos vetores
e
.
Determine uma equação cartesiana para o plano que passa pelo ponto
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados:
- Vetor
. - Vetor
. - Ponto
em .
O que é pedido:
- Determinar uma equação cartesiana para o plano que passa por
e é paralelo aos vetores e .
Passo 2
Ideia geral (sem entrar em contas ainda): um plano em
pode ser dado por uma equação cartesiana usando um vetor normal
ao plano. Se
é normal e
é um ponto do plano, a equação vetorial é
, onde
é o vetor posição genérico e
é a posição de
. Aqui vamos:
- encontrar um vetor normal
ao plano; - usar
para obter a equação cartesiana.
Explicando como achar
: se o plano é paralelo a
e
, então qualquer vetor normal ao plano é ortogonal a ambos
e
. O produto vetorial (cross product)
fornece exatamente um vetor ortogonal a
e
. Vou calcular
passo a passo.
Passo 3
Cálculo do produto vetorial
.
Definição prática (componentes): para
e
,
Aplicando aos valores dados:
-
. -
.
Calcule cada componente:
Portanto
Observação útil: qualquer múltiplo não-nulo de
também é um vetor normal válido. Podemos simplificar dividindo por
e usar
se quisermos números menores; ambos funcionam para produzir a equação do plano.]
Passo 4
Agora montar a equação do plano. Seja
o vetor posição genérico e
. A condição que define o plano é
Usando
e
, temos:
Compute o produto escalar:
Desenvolvendo:
Somando termos constantes:
Dividindo toda a equação por
(ou por
e multiplicando por
) para simplificar, obtemos uma forma mais simples. Dividindo por
:
Essa é uma equação cartesiana do plano desejado.
Passo 5
Verificações rápidas (para ficar mais seguro e aprender a checar no prova):
- Verificar que o ponto
satisfaz a equação:
ok.
- Verificar que
e são paralelos ao plano, ou seja, que são ortogonais ao vetor normal :
Ambos são zero, confirmando que
e
estão no plano. Bom sinal!