Considere os vetores \vec{u}=(2,-1,3) e \vec{v}=(1,2,-1) e o ponto P=(1,0,2) em \mathbb{R}^{3}.
Determine uma equação cartesiana para o plano que passa pelo ponto P e é paralelo aos vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados:
  • Vetor \vec{u}=(2,-1,3).
  • Vetor \vec{v}=(1,2,-1).
  • Ponto P=(1,0,2) em \mathbb{R}^3.
O que é pedido:
  • Determinar uma equação cartesiana para o plano que passa por P e é paralelo aos vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Ideia geral (sem entrar em contas ainda): um plano em \mathbb{R}^3 pode ser dado por uma equação cartesiana usando um vetor normal \vec{n} ao plano. Se \vec{n} é normal e P_0 é um ponto do plano, a equação vetorial é \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0, onde \vec{r}=(x,y,z) é o vetor posição genérico e \vec{r_0} é a posição de P_0. Aqui vamos:
  1. encontrar um vetor normal \vec{n} ao plano;
  2. usar \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0 para obter a equação cartesiana.
Explicando como achar \vec{n}: se o plano é paralelo a \vec{u} e \vec{v}, então qualquer vetor normal ao plano é ortogonal a ambos \vec{u} e \vec{v}. O produto vetorial (cross product) \vec{u}\times\vec{v} fornece exatamente um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v}. Vou calcular \vec{u}\times\vec{v} passo a passo.

Passo 3

Cálculo do produto vetorial \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}.
Definição prática (componentes): para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1).
Aplicando aos valores dados:
  • u_1=2,\;u_2=-1,\;u_3=3.
  • v_1=1,\;v_2=2,\;v_3=-1.
Calcule cada componente:
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& u_2v_3-u_3v_2 = (-1)\cdot(-1)-3\cdot 2 = 1-6 = -5,\\[4pt] \text{2ª componente: }& u_3v_1-u_1v_3 = 3\cdot 1-2\cdot(-1) = 3+2 = 5,\\[4pt] \text{3ª componente: }& u_1v_2-u_2v_1 = 2\cdot 2-(-1)\cdot 1 = 4+1 = 5. \end{aligned}ªªª
Portanto
\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}=(-5,5,5).
Observação útil: qualquer múltiplo não-nulo de \vec{n} também é um vetor normal válido. Podemos simplificar dividindo por 5 e usar \vec{n}'=(-1,1,1) se quisermos números menores; ambos funcionam para produzir a equação do plano.]

Passo 4

Agora montar a equação do plano. Seja \vec{r}=(x,y,z) o vetor posição genérico e \vec{r_0}=P=(1,0,2). A condição que define o plano é
\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0.
Usando \vec{n}=(-5,5,5) e \vec{r}-\vec{r_0}=(x-1,y-0,z-2)=(x-1,y,z-2), temos:
(-5,5,5)\cdot(x-1,y,z-2)=0.
Compute o produto escalar:
-5(x-1)+5(y)+5(z-2)=0.
Desenvolvendo:
-5x+5+5y+5z-10=0.
Somando termos constantes:
-5x+5y+5z-5=0.
Dividindo toda a equação por -5 (ou por 5 e multiplicando por -1) para simplificar, obtemos uma forma mais simples. Dividindo por -5:
x - y - z +1 =0.
Essa é uma equação cartesiana do plano desejado.

Passo 5

Verificações rápidas (para ficar mais seguro e aprender a checar no prova):
  1. Verificar que o ponto P=(1,0,2) satisfaz a equação:
1-0-2+1=0,
ok.
  1. Verificar que \vec{u} e \vec{v} são paralelos ao plano, ou seja, que são ortogonais ao vetor normal \vec{n}'=(-1,1,1):
\vec{n}'\cdot\vec{u}=(-1,1,1)\cdot(2,-1,3)=-2-1+3=0,
\vec{n}'\cdot\vec{v}=(-1,1,1)\cdot(1,2,-1)=-1+2-1=0.
Ambos são zero, confirmando que \vec{u} e \vec{v} estão no plano. Bom sinal!

Resposta

x - y - z + 1 = 0

Exercícios relacionados