Nos exercicios de 35 a 43, calcule as integrais definidas.
integral0^pi2 cos sen(sen x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi2cosl(sin(sin x)r),dx
O conteúdo aqui envolve métodos de integração numérica, pois não há primitiva elementar para cos(sin(sin x)). Vamos usar a Regra de Simpson para aproximar o valor.

Passo 2

A Regra de Simpson para aproximar integrala^bf(x),dx em n subintervalos (com n par) é dada por
integrala^bf(x),dxapprox h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+cdots+4f(xn-1)+f(xn)r]
onde h=(b-a)/n e xi=a+i,h.

Passo 3

Vamos escolher n=4 (quatro subintervalos) no intervalo de 0 a pi/2. Assim
h=tfracpi2-04=pi8,
e os pontos são
x0=0, x1=pi8, x2=pi4, x3=3pi8, x4=pi2
Agora calculamos
f(xi)=cosl(sin(sin xi)r)
numericamente:
f(x0)=cos(sin(0))=cos0=1
f(x1)approxcosl(sin(sin(0,3927))r)approx0,9305
f(x2)=cos(sin(sin(0,7854)))approx0,7956
f(x3)approxcos(sin(sin(1,1781)))approx0,6989
f(x4)=cos(sin(sin(1,5708)))=cos(sin1)approx0,6664.

Passo 4

Aplicando Simpson com esses valores:
integral0^pi/2cos(sin(sin x)),dxapprox h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+f(x4)r]
=pi/83l[1 +4(0,9305)+2(0,7956)+4(0,6989)+0,6664r]
approx0,1309times9,7752approx1,28

Resposta

A integral vale aproximadamente 1,28.

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