Nos exercicios de 1 a 35 , calcule as integrais.
integral x^5 raizx^2+3 d x

Passo 1

A gente precisa calcular integral x^5raizx^2+3,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição e uso da regra de potência para funções do tipo u^n.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = x^2 + 3. Dessa forma du = 2x,dx, ou seja x,dx = tfracdu2. Além disso, como x^2 = u - 3, temos x^4 = (u - 3)^2. A raiz raizx^2+3 vira raizu.
Reescrevendo a integral em u:
integral x^5raizx^2+3,dx = integral x^4cdot x,dxcdot raizu = 12integral (u-3)^2,u^1/2,du
Agora expandimos (u-3)^2 e somamos os expoentes:
(u-3)^2u^1/2 = (u^2 - 6u + 9)u^1/2 = u^5/2 - 6u^3/2 + 9u^1/2

Passo 3

Integramos termo a termo usando integral u^n,du = tfracu^n+1n+1:
12integral (u^5/2 - 6u^3/2 + 9u^1/2),du = 12l[u^7/27/2 - 6u^5/25/2 + 9u^3/23/2r] + C
Calculando cada termo:
= 12l[27u^7/2 - 125u^5/2 + 6u^3/2r] + C = 17u^7/2 - 65u^5/2 + 3u^3/2 + C

Passo 4

Voltando para x com u = x^2 + 3, obtemos:
17(x^2+3)^7/2 - 65(x^2+3)^5/2 + 3(x^2+3)^3/2 + C

Resposta

17(x^2+3)^7/2 - 65(x^2+3)^5/2 + 3(x^2+3)^3/2 + C

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