Considere a superfície S dada pela equação z=(x^2+y^2+z^2)^2.
Escreva a equação da superfície em coordenadas esféricas. (Resposta cos phi=rho^3 )

Passo 1

O exercício pede para reescrever a superfície definida por z = (x² + y² + z²)² em coordenadas esféricas. O conteúdo principal é a mudança de coordenadas do sistema cartesiano (x,y,z) para o sistema esférico (ρ,φ,θ), usando as definições de x, y, z e a relação entre x²+y²+z² e ρ.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as igualdades
x = rho,sinphi,costheta, y = rho,sinphi,sintheta, z = rho,cosphi,
e ainda
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Passo 3

Substituindo na equação da superfície, o lado esquerdo z vira
z = rho,cosphi,
enquanto o lado direito (x²+y²+z²)² vira
(rho^2)^2 = rho^4

Passo 4

Igualando as duas expressões obtemos
rho,cosphi = rho^4
Como ρ ≥ 0, podemos dividir por ρ (assumindo ρ > 0) e simplificar para
cosphi = rho^3

Resposta

cosphi = rho^3

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