Considere a superfície S dada pela equação z=(x^2+y^2+z^2)^2.
Usando a equação obtida na parte (b), escreva uma integral iterada, explicitando o integrando e os limites de integração, a qual dá o volume da região dentro da superfície. Não calcule a integral. (Resposta integral0^2 pi integral0^pi2 integral0^(cos phi)^1 / 3 rho^2 sen phi d rho d phi d theta )

Passo 1

O enunciado pede o volume da região limitada pela superfície S definida por z = (x² + y² + z²)². Vamos usar coordenadas esféricas, pois aí a região tem fronteira simples e o elemento de volume é ρ²
sin
φ


dθ.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos x = ρ
sin
φ
cos
θ, y = ρ
sin
φ
sin
θ e z = ρ
cos
φ, além de x² + y² + z² = ρ². Substituindo na equação de S:
ρcosφ = (ρ²)² = ρ⁴²²

Passo 3

Para ρ ≠ 0 isso dá ρ³ = cos
φ, ou seja ρ = (cos
φ)^{1/3}. Essa é a superfície limite em termos de ρ, válida quando cos
φ ≥ 0.

Passo 4

Os limites de integração são: θ de 0 a 2π (volta completa em torno do eixo z), φ de 0 a π/2 (para cos
φ ≥ 0, ou seja z ≥ 0) e ρ de 0 até (cos
φ)^{1/3}.

Passo 5

Montamos então a integral tripla do volume em esféricas usando o jacobiano ρ²
sin
φ, sem calcular o valor.

Resposta

[\n\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}{(\cos\phi){1/3}} \rho^{2}\sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta\n]

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