Considere a superfície
dada pela equação
.
Usando a equação obtida na parte (b), escreva uma integral iterada, explicitando o integrando e os limites de integração, a qual dá o volume da região dentro da superfície. Não calcule a integral. (Resposta
)
Usando a equação obtida na parte (b), escreva uma integral iterada, explicitando o integrando e os limites de integração, a qual dá o volume da região dentro da superfície. Não calcule a integral. (Resposta
Passo 1
O enunciado pede o volume da região limitada pela superfície S definida por z = (x² + y² + z²)². Vamos usar coordenadas esféricas, pois aí a região tem fronteira simples e o elemento de volume é ρ²
sin
φ
dρ
dφ
dθ.
sin
φ
dρ
dφ
dθ.
Passo 2
Em coordenadas esféricas temos x = ρ
sin
φ
cos
θ, y = ρ
sin
φ
sin
θ e z = ρ
cos
φ, além de x² + y² + z² = ρ². Substituindo na equação de S:
sin
φ
cos
θ, y = ρ
sin
φ
sin
θ e z = ρ
cos
φ, além de x² + y² + z² = ρ². Substituindo na equação de S:
Passo 3
Para ρ ≠ 0 isso dá ρ³ = cos
φ, ou seja ρ = (cos
φ)^{1/3}. Essa é a superfície limite em termos de ρ, válida quando cos
φ ≥ 0.
φ, ou seja ρ = (cos
φ)^{1/3}. Essa é a superfície limite em termos de ρ, válida quando cos
φ ≥ 0.
Passo 4
Os limites de integração são: θ de 0 a 2π (volta completa em torno do eixo z), φ de 0 a π/2 (para cos
φ ≥ 0, ou seja z ≥ 0) e ρ de 0 até (cos
φ)^{1/3}.
φ ≥ 0, ou seja z ≥ 0) e ρ de 0 até (cos
φ)^{1/3}.
Passo 5
Montamos então a integral tripla do volume em esféricas usando o jacobiano ρ²
sin
φ, sem calcular o valor.
sin
φ, sem calcular o valor.
Resposta
[\n\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}{(\cos\phi){1/3}} \rho^{2}\sin\phi , d\rho , d\phi , d\theta\n]