Esboce a região de integração e calcule a integral .
(Resposta: 32/15)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar a região de integração e calcular a integral dupla . A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente integração dupla, onde a gente integra uma função sobre uma região no plano XY. Pra resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como desenhar essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O integral externo vai de até . Isso significa que nosso domínio em X vai desse intervalo. O integral interno vai de até . Então, para cada valor de entre -1 e 1, varia de até .
Passo 3
Vamos esboçar a região de integração. Desenhando as duas curvas:
: é uma parábola voltada pra cima, mais estreita.
: também é uma parábola voltada pra cima, mas deslocada 1 pra cima.
Entre e , a curva está abaixo de porque, para esses valores de , . Assim, nossa região de integração está entre essas duas curvas nesse intervalo de .
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral. A gente vai integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
A integral interna é:
Vamos resolver essa parte primeiro.
Passo 5
Integrando em relação a :
Agora, substituímos os limites de :
Passo 6
Vamos simplificar cada parte:
Para :
Para :
Agora, subtraímos:
Passo 7
Agora, a integral original se transforma em uma integral em :