Esboce a região de integração e calcule a integral integral-1^1 integral2 x^2^1+x^2(x+2 y) d y d x.
(Resposta: 32/15)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar a região de integração e calcular a integral dupla integral-1^1 integral2 x^2^1+x^2(x+2 y) , dy , dx. A matéria que estamos lidando aqui é cálculo integral, especificamente integração dupla, onde a gente integra uma função sobre uma região no plano XY. Pra resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração e como desenhar essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O integral externo vai de x = -1 até x = 1. Isso significa que nosso domínio em X vai desse intervalo. O integral interno vai de y = 2x^2 até y = 1 + x^2. Então, para cada valor de x entre -1 e 1, y varia de 2x^2 até 1 + x^2.

Passo 3

Vamos esboçar a região de integração. Desenhando as duas curvas:
  1. y = 2x^2: é uma parábola voltada pra cima, mais estreita.
  2. y = 1 + x^2: também é uma parábola voltada pra cima, mas deslocada 1 pra cima.
Entre x = -1 e x = 1, a curva y = 2x^2 está abaixo de y = 1 + x^2 porque, para esses valores de x, 2x^2 < 1 + x^2. Assim, nossa região de integração está entre essas duas curvas nesse intervalo de x.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral. A gente vai integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.
A integral interna é:
integral2x^2^1+x^2 (x + 2y) , dy
Vamos resolver essa parte primeiro.

Passo 5

Integrando x + 2y em relação a y:
integral (x + 2y) , dy = x y + y^2 + C
Agora, substituímos os limites de y:
[x y + y^2]2x^2^1 + x^2 = [ x(1 + x^2) + (1 + x^2)^2 ] - [ x(2x^2) + (2x^2)^2 ]

Passo 6

Vamos simplificar cada parte:
Para y = 1 + x^2:
x(1 + x^2) + (1 + x^2)^2 = x + x^3 + 1 + 2x^2 + x^4
Para y = 2x^2:
x(2x^2) + (2x^2)^2 = 2x^3 + 4x^4
Agora, subtraímos:
(x + x^3 + 1 + 2x^2 + x^4) - (2x^3 + 4x^4) = x + 1 + 2x^2 - x^3 - 3x^4

Passo 7

Agora, a integral original se transforma em uma integral em x:
integral-1^1 (x + 1 + 2x^2 - x^3 - 3x^4) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral x , dx = 12x^2 integral 1 , dx = x integral 2x^2 , dx = 23x^3 integral -x^3 , dx = -14x^4 integral -3x^4 , dx = -35x^5

Passo 8

Agora, juntando tudo:
12x^2 + x + 23x^3 - 14x^4 - 35x^5 g|-1^1
Vamos calcular para x = 1:
12(1)^2 + 1 + 23(1)^3 - 14(1)^4 - 35(1)^5 = 12 + 1 + 23 - 14 - 35
Para x = -1:
12(-1)^2 + (-1) + 23(-1)^3 - 14(-1)^4 - 35(-1)^5 = 12 - 1 - 23 - 14 + 35

Passo 9

Calculando as diferenças:
Para x = 1:
12 + 1 = 32 32 + 23 = 96 + 46 = 136 136 - 14 = 2612 - 312 = 2312 2312 - 35 = 11560 - 3660 = 7960
Para x = -1:
12 - 1 = -12 -12 - 23 = -36 - 46 = -76 -76 - 14 = -1412 - 312 = -1712 -1712 + 35 = -8560 + 3660 = -4960
Agora, subtraindo:
7960 - (-4960) = 7960 + 4960 = 12860 = 3215

Resposta

Portanto, o valor da integral é 3215.

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