Considere a superfície S dada pela equação z=(x^2+y^2+z^2)^2.
Mostre que S está localizado na metade superior do espaço ( z >= 0 )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a superfície definida por z = (x^2 + y^2 + z^2)^2 fica inteiramente na região z >= 0. Vamos usar a propriedade de que soma de quadrados é não negativa.

Passo 2

Definimos r^2 = x^2 + y^2 + z^2. Como soma de quadrados nunca é negativa, temos r^2 >= 0. Reescrevendo a equação de S em função de r, obtemos:

Passo 3

z = (x^2 + y^2 + z^2)^2 = (r^2)^2 = r^4

Passo 4

Como r^4 é o quarto poder de uma quantidade real não negativa, segue que r^4 >= 0. Portanto, z = r^4 >= 0.

Resposta

Para todo ponto em S vale z=(x^2+y^2+z^2)^2>=0, logo Ssubsetz>=0.

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