Determine os momentos de inércia Ix, Iy e I0 do disco homogêneo D dom densidade rho(x, y)=rho, centro na origem e raio a (Resposta I0=pi rho a^42 Ix=Iy=pi rho a^44 )

Passo 1

Temos um disco homogêneo D de densidade constante rho, raio a e centro na origem. O objetivo é achar os momentos de inércia em torno dos eixos x e y, e também o momento polar I0. Vamos usar cálculo de dupla integral e coordenadas polares.

Passo 2

As definições de momento de inércia são
Ix=rhointegral duplaD y^2,dA, Iy=rhointegral duplaD x^2,dA, I0=rhointegral duplaD(x^2+y^2),dA
Em coordenadas polares usamos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta, com rin[0,a] e thetain[0,2pi].

Passo 3

Para I0 temos
I0=rhointegral0^2piintegral0^a(r^2),r,dr,dtheta =rhointegral0^2pidthetaintegral0^a r^3,dr =rhocdot2picdota^44 =pirho a^42

Passo 4

Para Ix calculamos
Ix=rhointegral0^2piintegral0^a(rsintheta)^2,r,dr,dtheta =rhointegral0^2pisin^2theta,dthetaintegral0^a r^3,dr
Sabendo que integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi e integral0^a r^3,dr=tfraca^44, vem
Ix=rhocdotpicdota^44=pirho a^44

Passo 5

Pela simetria do disco em relação aos eixos, temos Iy=Ix.

Resposta

I_0= pirho a^42,\quad I_x=I_y= pirho a^44.

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