Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0),(1,0) e (0,2), se a função densidade é rho(x, y)=1+3 x+y (Resposta: m=8 / 3 barx=3 / 8 bary=11 / 16 )

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma lâmina triangular com vértices em (0,0), (1,0) e (0,2), densidade rho(x,y)=1+3x+y. O conteúdo é cálculo de massa e centro de massa usando integrais duplas; vamos precisar descrever a região de integração e calcular o integral da densidade e os momentos.

Passo 2

A região triangular D fica delimitada pelos eixos x, y e a reta que passa por (1,0) e (0,2). A equação dessa reta é y=2-2x. Logo
D=(x,y):0<= x<=1,;0<= y<=2-2x,

Passo 3

Cálculo da massa m:
m=integral duplaDrho(x,y),dA=integral0^1integral0^2-2x(1+3x+y),dy,dx

Passo 4

Calculemos a integral interna:
integral0^2-2x(1+3x+y),dy=(1+3x)(2-2x)+(2-2x)^22=4-4x^2

Passo 5

Portanto
m=integral0^1(4-4x^2),dx=4-43=83

Passo 6

Cálculo de barx:
My=integral duplaD x,rho(x,y),dA=integral0^1integral0^2-2xx(1+3x+y),dy,dx

Passo 7

Integral interna:
integral0^2-2xx(1+3x+y),dy=4x-4x^3

Passo 8

Logo
My=integral0^1(4x-4x^3),dx=1,barx=Mym=18/3=38

Passo 9

Cálculo de bary:
Mx=integral duplaD y,rho(x,y),dA=integral0^1integral0^2-2xy(1+3x+y),dy,dx

Passo 10

Separemos a interna:
integral0^2-2xy(1+3x+y),dy=(1+3x)(2-2x)^22+(2-2x)^33=143-6x-2x^2+103x^3

Passo 11

Então
Mx=integral0^1l(143-6x-2x^2+103x^3r),dx=116,bary=Mxm=11/68/3=1116

Resposta

m = 8/3, barx = 3/8, bary = 11/16

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