Encontre o volume da região limitada pelo plano e a superfície . Sugestão: (Mudança de variáveis).
(Resposta: )
Passo 1
Temos que calcular o volume da região limitada pelas superfícies e . O conteúdo envolve cálculo de volume via mudança de variáveis no plano XY e integração dupla. Vamos usar a substituição linear , para transformar a região projetada em um disco no plano UV e depois usar coordenadas polares.
Passo 2
O volume pode ser escrito como integral dupla sobre a projeção no plano XY:
onde é definido por .
Passo 3
Fazemos a mudança de variáveis
Precisamos do Jacobiano. Invertendo o sistema, achamos
o que leva ao determinante
Assim, dx,dy = tfrac13,du,dv.
Passo 4
Substituindo, a integral fica
V = integral duplau^2 + v^2 <= 4 l(4 - (u^2 + v^2)r) cdot 13,du,dv