Encontre o volume da região limitada pelo plano z=4 e a superfície z=(2 x-y)^2+(x+y-1)^2. Sugestão: (Mudança de variáveis).
(Resposta: 8 pi3 )

Passo 1

Temos que calcular o volume da região limitada pelas superfícies z=4 e z=(2x - y)^2 + (x + y - 1)^2. O conteúdo envolve cálculo de volume via mudança de variáveis no plano XY e integração dupla. Vamos usar a substituição linear u = 2x - y, v = x + y - 1 para transformar a região projetada em um disco no plano UV e depois usar coordenadas polares.

Passo 2

O volume pode ser escrito como integral dupla sobre a projeção D no plano XY:
V = integral duplaD l(4 - [(2x - y)^2 + (x + y - 1)^2]r),dx,dy
onde D é definido por (2x - y)^2 + (x + y - 1)^2 <= 4.

Passo 3

Fazemos a mudança de variáveis
u = 2x - y, v = x + y - 1
Precisamos do Jacobiano. Invertendo o sistema, achamos
x = u + v + 13, y = 2v - u + 23
o que leva ao determinante
J = gl|partial(x,y)partial(u,v)gr| = 13
Assim, dx,dy = tfrac13,du,dv.

Passo 4

Substituindo, a integral fica
V = integral duplau^2 + v^2 <= 4 l(4 - (u^2 + v^2)r) cdot 13,du,dv

Passo 5

Agora mudamos para coordenadas polares em (u,v):
u = rcostheta, v = rsintheta, du,dv = r,dr,dtheta
A região torna-se 0 <= r <= 2, 0 <= theta < 2pi.

Passo 6

Calculamos a integral:
V = 13 integral0^2pi integral0^2 (4 - r^2),r,dr,dtheta = 13 cdot 2pi integral0^2 (4r - r^3),dr = 2pi3 l[2r^2 - tfracr^44r]0^2 = 2pi3 (8 - 4) = 8pi3

Passo 7

O volume da região é tfrac8pi3.

Resposta

8pi3

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