(1.5) Considere a superfície S de equação x^{2} y+3 x y^{2}-z=0
a) Encontre o vetor gradiente de S.
b) Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície S no ponto em ( 1,1,4 ).

Passo 1

O enunciado dá a superfície S definida pela equação
x^{2}y + 3xy^{2} - z = 0.
O que é pedido:
  • (a) Encontrar o vetor gradiente de S (ou seja, encontrar o vetor formado pelas derivadas parciais).
  • (b) Determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície S no ponto (1,1,4).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A superfície é dada implicitamente por uma equação envolvendo x, y e z.
  • O ponto onde devemos trabalhar é \,(1,1,4)\,.
    A partir daqui passo a passo vamos calcular derivadas parciais, avaliar no ponto e formar o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Transformar a equação da superfície numa função nível para facilitar cálculos. Defina a função
F(x,y,z)=x^{2}y+3xy^{2}-z.
Explicação didática: trabalhar com superfícies dadas por F(x,y,z)=0 é prático porque o gradiente de F é exatamente um vetor normal à superfície em cada ponto. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de F:
\nabla F(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial F}{\partial x},\,\dfrac{\partial F}{\partial y},\,\dfrac{\partial F}{\partial z}\right).
Aqui cada derivada parcial significa: derivar F em relação a uma variável mantendo as outras fixas (por exemplo, \dfrac{\partial F}{\partial x} é a taxa de variação de F quando só x muda).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de F passo a passo.
  • Cálculo de \dfrac{\partial F}{\partial x}: trate y e z como constantes.
    • Derivada de x^{2}y em relação a x é 2x y (porque y é constante).
    • Derivada de 3xy^{2} em relação a x é 3y^{2}.
    • Derivada de -z em relação a x é 0.
      Logo
    \dfrac{\partial F}{\partial x}=2xy+3y^{2}.
  • Cálculo de \dfrac{\partial F}{\partial y}: trate x e z como constantes.
    • Derivada de x^{2}y em relação a y é x^{2}.
    • Derivada de 3xy^{2} em relação a y é 6xy.
    • Derivada de -z em relação a y é 0.
      Logo
    \dfrac{\partial F}{\partial y}=x^{2}+6xy.
  • Cálculo de \dfrac{\partial F}{\partial z}: como F contém -z linearmente,
    \dfrac{\partial F}{\partial z}=-1.
Portanto o gradiente geral é
\nabla F(x,y,z)=\left(2xy+3y^{2},\;x^{2}+6xy,\;-1\right).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto dado (1,1,4).
Substituindo x=1 e y=1 nas expressões obtidas:
\dfrac{\partial F}{\partial x}(1,1,4)=2\cdot1\cdot1+3\cdot1^{2}=2+3=5,
\dfrac{\partial F}{\partial y}(1,1,4)=1^{2}+6\cdot1\cdot1=1+6=7,
\dfrac{\partial F}{\partial z}(1,1,4)=-1.
Logo o vetor normal à superfície em (1,1,4) (ou seja, o gradiente naquele ponto) é
\nabla F(1,1,4)=(5,\,7,\,-1).
Comentário prático: esse vetor é perpendicular à superfície no ponto; usamos ele para montar o plano tangente e a reta normal.

Passo 5

Equação do plano tangente. Fórmula e interpretação:
Para uma superfície definida por F(x,y,z)=0, o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é dado por
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Isto significa que o vetor que liga o ponto genérico (x,y,z) ao ponto de tangência é ortogonal ao vetor normal \nabla F.
Aplicando com (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,4) e \nabla F(1,1,4)=(5,7,-1):
5(x-1)+7(y-1)-1(z-4)=0.
Simplificando:
5x-5+7y-7-z+4=0 \quad\Rightarrow\quad 5x+7y-z-8=0.
Se preferir a forma explícita para z:
z=5x+7y-8.
Verificação rápida: para x=1, y=1 obtém-se z=5+7-8=4, que é o ponto dado — ótimo.

Passo 6

Equações da reta normal. Ideia e fórmulas:
A reta normal passa por (1,1,4) com direção dada pelo vetor normal (5,7,-1). A forma paramétrica da reta é
(x,y,z)=(1,1,4)+t(5,7,-1),\quad t\in\mathbb{R}.
Escrevendo coordenadas separadas:
x=1+5t,\qquad y=1+7t,\qquad z=4-t.
Também se pode escrever em forma simétrica (quando os denominadores não são zero):
\frac{x-1}{5}=\frac{y-1}{7}=\frac{z-4}{-1}=t.
Força aí — você já tem tudo: o gradiente geral, o gradiente no ponto, o plano tangente e a reta normal. Dá pra revisar esses passos e repetir o cálculo das derivadas parciais em 5 minutos antes da prova que fica na cabeça.

Resposta

\nabla F(x,y,z)=\left(2xy+3y^{2},\;x^{2}+6xy,\;-1\right)
Plano tangente em (1,1,4)\colon\;5x+7y-z-8=0 (ou z=5x+7y-8)
Reta normal em (1,1,4) (paramétrica): x=1+5t,\;y=1+7t,\;z=4-t, t\in\mathbb{R}

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