(1.5) Considere a superfície
de equação
a) Encontre o vetor gradiente de
.
b) Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
no ponto em (
).
a) Encontre o vetor gradiente de
b) Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida pela equação
O que é pedido:
- (a) Encontrar o vetor gradiente de
(ou seja, encontrar o vetor formado pelas derivadas parciais). - (b) Determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
no ponto .
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A superfície é dada implicitamente por uma equação envolvendo
, e . - O ponto onde devemos trabalhar é
.
A partir daqui passo a passo vamos calcular derivadas parciais, avaliar no ponto e formar o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Transformar a equação da superfície numa função nível para facilitar cálculos. Defina a função
Explicação didática: trabalhar com superfícies dadas por
é prático porque o gradiente de
é exatamente um vetor normal à superfície em cada ponto. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de
:
Aqui cada derivada parcial significa: derivar
em relação a uma variável mantendo as outras fixas (por exemplo,
é a taxa de variação de
quando só
muda).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
-
Cálculo de
: trate e como constantes. - Derivada de
em relação a é (porque é constante). - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo
- Derivada de
-
Cálculo de
: trate e como constantes. - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Logo
- Derivada de
-
Cálculo de
: como contém linearmente,
Portanto o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto dado
.
Substituindo
e
nas expressões obtidas:
Logo o vetor normal à superfície em
(ou seja, o gradiente naquele ponto) é
Comentário prático: esse vetor é perpendicular à superfície no ponto; usamos ele para montar o plano tangente e a reta normal.
Passo 5
Equação do plano tangente. Fórmula e interpretação:
Para uma superfície definida por , o plano tangente em
é dado por
Para uma superfície definida por
Isto significa que o vetor que liga o ponto genérico
ao ponto de tangência é ortogonal ao vetor normal
.
Aplicando com
e
:
Simplificando:
Se preferir a forma explícita para
:
Verificação rápida: para
,
obtém-se
, que é o ponto dado — ótimo.
Passo 6
Equações da reta normal. Ideia e fórmulas:
A reta normal passa por com direção dada pelo vetor normal
. A forma paramétrica da reta é
A reta normal passa por
Escrevendo coordenadas separadas:
Também se pode escrever em forma simétrica (quando os denominadores não são zero):
Força aí — você já tem tudo: o gradiente geral, o gradiente no ponto, o plano tangente e a reta normal. Dá pra revisar esses passos e repetir o cálculo das derivadas parciais em 5 minutos antes da prova que fica na cabeça.
Resposta
Plano tangente em
Reta normal em