(1.5) Seja
.
a) Calcule as derivadas parciais de
.
b) Mostre que a função não é diferenciável em
usando a definição.
a) Calcule as derivadas parciais de
b) Mostre que a função não é diferenciável em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Calcular as derivadas parciais de
. - (b) Mostrar que
não é diferenciável em usando a definição de diferenciabilidade.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
- A expressão analítica de
é . - O ponto de interesse para a parte (b) é
. - Para (a) precisamos usar a definição de derivada parcial ou regras de diferenciação (por exemplo, cadeia) para obter as fórmulas; e devemos verificar o que acontece em
.
Passo 2
Definição/ideia útil sobre derivada parcial (explicação didática):
- A derivada parcial de
em relação a no ponto é a taxa de variação de quando só muda, mantendo fixo. Formalmente,
se esse limite existir.
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Vou usar essas definições para calcular as parciais; onde for mais simples, uso a regra da cadeia para funções compostas (explico quando usar).
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais para
(usando a regra da cadeia):
- Pense em
como com e . - A regra da cadeia diz que, para
com ,
- Aqui
e . Substituindo,
- De forma análoga para
,
- Observação didática: essas fórmulas têm sentido sempre que o denominador
for diferente de zero, ou seja, para todo . Elas correspondem à direção radial (a função é a distância ao origem, então a derivada aponta radialmente).
Passo 4
Verificação do caso
- Como
e , o quociente é
- Esse limite quando
dá
e por dá . Logo
- Mesma conta para
: tomando variação só em , com , obtemos novamente, então
- Observação: existem derivadas parciais laterais (por exemplo, a derivada em
pela direita é e pela esquerda é ), mas a derivada parcial no sentido usual (limite bilateral) não existe em .]
Passo 5
Definição/ideia útil sobre diferenciabilidade (explicação didática):
- Uma função
é diferenciável em se existe uma aplicação linear tal que, escrevendo o deslocamento ,
- Aqui
é a norma euclidiana e significa que o resto dividido por tende a quando . - A aplicação linear
pode ser escrita como para alguns números . Se for diferenciável então esses coincidem com as derivadas parciais e (quando estas existem).
Passo 6
Prova direta por contradição usando a definição (mostrar que não existe
satisfazendo a condição):
- Suponha, por contradição, que
seja diferenciável em . Então existe tal que
- Substituindo
e , obtemos a condição
Passo 7
Analisar a condição ao longo de trajetórias específicas (linha
):
- Considere a trajetória
(ou seja, pontos com ). Então a expressão da condição fica
onde
vale
para
e
para
.
- Para que o limite quando
exista e seja , tanto o limite pela direita quanto pela esquerda devem ser . Pela direita ( ) o valor é ; pela esquerda ( ) o valor é . - Exigir
e simultaneamente implica e , o que é impossível. - Portanto não existe
que satisfaça a condição para a trajetória . Logo não existe linear que faça o resto ser .
Passo 8
Conclusão e interpretação final (fechando o argumento):
- Como não existe
satisfazendo a condição de diferenciabilidade em , a função não é diferenciável em . - Observação complementar: outra forma mais curta de ver isso é notar que diferenciabilidade em um ponto implica a existência das derivadas parciais nesse ponto; mas já verificamos que as derivadas parciais em
não existem. Portanto não pode ser diferenciável em .
Resposta
(a)
para
.
e
não existem.
(b)
não é diferenciável em
.