(1.5) Seja f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
a) Calcule as derivadas parciais de f(x, y).
b) Mostre que a função não é diferenciável em (0,0) usando a definição.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e pede duas coisas:
  • (a) Calcular as derivadas parciais de f(x,y).
  • (b) Mostrar que f não é diferenciável em (0,0) usando a definição de diferenciabilidade.
Informações relevantes que temos (explicitadas):
  • A expressão analítica de f é f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse para a parte (b) é (0,0).
  • Para (a) precisamos usar a definição de derivada parcial ou regras de diferenciação (por exemplo, cadeia) para obter as fórmulas; e devemos verificar o que acontece em (0,0).

Passo 2

Definição/ideia útil sobre derivada parcial (explicação didática):
  • A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x_{0},y_{0}) é a taxa de variação de f quando só x muda, mantendo y=y_{0} fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{h},
se esse limite existir.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})=\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0},y_{0}+h)-f(x_{0},y_{0})}{h}.
Vou usar essas definições para calcular as parciais; onde for mais simples, uso a regra da cadeia para funções compostas (explico quando usar).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) (usando a regra da cadeia):
  • Pense em f(x,y) como f(x,y)=g(u(x,y)) com u(x,y)=x^{2}+y^{2} e g(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
  • A regra da cadeia diz que, para (x,y) com u(x,y)>0,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=g'(u(x,y))\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y).
  • Aqui g'(u)=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}} e \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x. Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • De forma análoga para y,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • Observação didática: essas fórmulas têm sentido sempre que o denominador \sqrt{x^{2}+y^{2}} for diferente de zero, ou seja, para todo (x,y)\neq(0,0). Elas correspondem à direção radial (a função é a distância ao origem, então a derivada aponta radialmente).

Passo 4

Verificação do caso (0,0)\) para as derivadas parciais (cálculo direto pelas definições): - Para \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) usamos a definição: \[\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
  • Como f(h,0)=\sqrt{h^{2}+0^{2}}=|h| e f(0,0)=0, o quociente é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{|h|}{h}=\begin{cases} 1,& h>0,\\[4pt] -1,& h<0. \end{cases}
  • Esse limite quando h\to0\] não existe porque a aproximação por \(h>0 1 e por h<0 -1. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\\ \text{não existe}.ã
  • Mesma conta para \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0): tomando variação só em y, com x=0, obtemos \dfrac{|h|}{h} novamente, então
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe}.ã
  • Observação: existem derivadas parciais laterais (por exemplo, a derivada em x pela direita é 1 e pela esquerda é -1), mas a derivada parcial no sentido usual (limite bilateral) não existe em (0,0).]

Passo 5

Definição/ideia útil sobre diferenciabilidade (explicação didática):
  • Uma função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é diferenciável em (0,0) se existe uma aplicação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, escrevendo o deslocamento (h,k),
f(0+h,0+k)-f(0,0)-L(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big)\quad\text{quando }(h,k)\to(0,0).
  • Aqui \|(h,k)\|=\sqrt{h^{2}+k^{2}} é a norma euclidiana e o(\|(h,k)\|) significa que o resto dividido por \|(h,k)\| tende a 0 quando (h,k)\to(0,0).
  • A aplicação linear L pode ser escrita como L(h,k)=a h + b k para alguns números a,b. Se f for diferenciável então esses a,b coincidem com as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) (quando estas existem).

Passo 6

Prova direta por contradição usando a definição (mostrar que não existe L satisfazendo a condição):
  • Suponha, por contradição, que f seja diferenciável em (0,0). Então existe L(h,k)=a h + b k tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
  • Substituindo f e f(0,0)=0, obtemos a condição
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\sqrt{h^{2}+k^{2}}-(a h + b k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.

Passo 7

Analisar a condição ao longo de trajetórias específicas (linha k=0):
  • Considere a trajetória k=0 (ou seja, pontos (h,0) com h\to0). Então a expressão da condição fica
\frac{\sqrt{h^{2}+0^{2}}-(a h + b\cdot0)}{\sqrt{h^{2}+0^{2}}}=\frac{|h|-a h}{|h|}=1-a\cdot\frac{h}{|h|}=1-a\operatorname{sgn}(h),
onde \operatorname{sgn}(h)=\dfrac{h}{|h|} vale 1 para h>0 e -1 para h<0.
  • Para que o limite quando h\to0 exista e seja 0, tanto o limite pela direita quanto pela esquerda devem ser 0. Pela direita ( h\to0^{+}) o valor é 1-a; pela esquerda ( h\to0^{-}) o valor é 1+a.
  • Exigir 1-a=0 e 1+a=0 simultaneamente implica a=1 e a=-1, o que é impossível.
  • Portanto não existe a que satisfaça a condição para a trajetória k=0. Logo não existe linear L que faça o resto ser o(\|(h,k)\|).

Passo 8

Conclusão e interpretação final (fechando o argumento):
  • Como não existe L(h,k)=a h + b k satisfazendo a condição de diferenciabilidade em (0,0), a função f não é diferenciável em (0,0).
  • Observação complementar: outra forma mais curta de ver isso é notar que diferenciabilidade em um ponto implica a existência das derivadas parciais nesse ponto; mas já verificamos que as derivadas parciais em (0,0) não existem. Portanto f não pode ser diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} para (x,y)\neq(0,0). \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) não existem.
(b) f não é diferenciável em (0,0).

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