Considere a superfície
definida por
, com
e com densidade de massa dada por
. Calcule a massa total de
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a massa total da superfície S definida por z=(x²+y²)², no disco x²+y²<1, com densidade α(x,y,z)=√(1+16(x²+y²)³). O conteúdo é massa de superfície: M=∬_S α
dS, e vamos usar a fórmula dS=√(1+f_x²+f_y²)
dx
dy e coordenadas polares.
Passo 2
Definindo f(x,y)=(x²+y²)², computamos as derivadas parciais: f_x=4x(x²+y²) e f_y=4y(x²+y²). Assim
[f_x²+f_y²=16(x²+y²)³], ou em coordenadas polares com r²=x²+y² temos f_x²+f_y²=16r⁶.
[f_x²+f_y²=16(x²+y²)³], ou em coordenadas polares com r²=x²+y² temos f_x²+f_y²=16r⁶.
Passo 3
Logo dS=√(1+16r⁶)
dx
dy e a densidade α=√(1+16r⁶), portanto o integrando fica
[α
[α
dS=(√(1+16r⁶))²=1+16r⁶].
Passo 4
Passando para coordenadas polares (dx
dy=r
dr
dθ, r∈[0,1], θ∈[0,2π]), temos
[M=∫₀^{2π}∫₀¹(1+16r⁶)
[M=∫₀^{2π}∫₀¹(1+16r⁶)
r
dr
dθ].
Passo 5
Calculando a integral em r: ∫₀¹(r+16r⁷)dr=[r²/2+2r⁸]₀¹=1/2+2=5/2. E em θ: ∫₀^{2π}dθ=2π. Portanto M=2π·(5/2)=5π.