Considere a superfície S subset R^3 definida por z=(x^2+y^2)^2, com x^2+y^2<1 e com densidade de massa dada por alpha(x, y, z)=raiz1+16(x^2+y^2)^3 kg / m^3. Calcule a massa total de S.

Passo 1

O exercício pede para calcular a massa total da superfície S definida por z=(x²+y²)², no disco x²+y²<1, com densidade α(x,y,z)=√(1+16(x²+y²)³). O conteúdo é massa de superfície: M=∬_S α
dS, e vamos usar a fórmula dS=√(1+f_x²+f_y²)
dx
dy e coordenadas polares.

Passo 2

Definindo f(x,y)=(x²+y²)², computamos as derivadas parciais: f_x=4x(x²+y²) e f_y=4y(x²+y²). Assim
[f_x²+f_y²=16(x²+y²)³], ou em coordenadas polares com r²=x²+y² temos f_x²+f_y²=16r⁶.

Passo 3

Logo dS=√(1+16r⁶)
dx
dy e a densidade α=√(1+16r⁶), portanto o integrando fica
dS=(√(1+16r⁶))²=1+16r⁶].

Passo 4

Passando para coordenadas polares (dx
dy=r
dr
dθ, r∈[0,1], θ∈[0,2π]), temos
[M=∫₀^{2π}∫₀¹(1+16r⁶)
r
dr
dθ].

Passo 5

Calculando a integral em r: ∫₀¹(r+16r⁷)dr=[r²/2+2r⁸]₀¹=1/2+2=5/2. E em θ: ∫₀^{2π}dθ=2π. Portanto M=2π·(5/2)=5π.

Resposta

5pi

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