Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial
deseja investílo à uma taxa anual de juros de
ao ano.
(a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capital
após
anos será dado por
.
(b) Mostre que se a aplicação tiver
composições de rendimento
por ano, então o capital após
anos será
. Estude o que ocorre para valores grandes de
.
© Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente à razão
em relação ao capital investido. Encontre uma expressão para o capital
após
anos.
(d) Compare as três aplicações descritas acima e decida qual delas é mais rentável.
(a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capital
(b) Mostre que se a aplicação tiver
© Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente à razão
(d) Compare as três aplicações descritas acima e decida qual delas é mais rentável.
Passo 1
O enunciado do exercício: um investidor com capital inicial
investe à taxa anual de
. Precisamos usar progressões geométricas, limites de sequência e equações diferenciais para encontrar o capital após
anos nos três casos: rendimento anual, rendimento em
períodos e rendimento contínuo.
Passo 2
Para o caso de rendimento uma vez ao ano, reconhecemos que a cada ano o capital se multiplica por
. Assim após 1 ano temos
, e por repetição em progressão geométrica, após
anos:
Esse é um PG de razão
Passo 3
Quando há
composições ao ano, a cada período de duração
ano a taxa efetiva é
. Logo o fator de multiplicação por período é
e há
períodos em
anos, gerando:
Aqui também formamos uma PG de razão
Passo 4
Para estudar o limite quando
, usamos a definição do número
:
Portanto
Passo 5
No regime de composição contínua, modelamos o crescimento por uma equação diferencial:
. Resolvendo essa ED de variável separável, obtemos
Passo 6
Comparando as três fórmulas, vemos que para todo
e
:
onde a igualdade à direita só ocorre no limite
Resposta
a)
b) , e quando
tende a
.
c) .
d) A mais rentável é a composição contínua.
b)
c)
d) A mais rentável é a composição contínua.