Suponha que um determinado investidor que dispõe de um capital inicial C0>0 deseja investílo à uma taxa anual de juros de alpha % ao ano.
(a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capital C(t) após t anos será dado por C(t)=C0(1+alpha)^t.
(b) Mostre que se a aplicação tiver k composições de rendimento alpha / k % por ano, então o capital após t anos será k. Estude o que ocorre para valores grandes de alpha.
© Muitas aplicações financeiras atualmente tem composição contínua de rendimentos, sendo assim, o capital investido cresce continuamente à razão C(t) em relação ao capital investido. Encontre uma expressão para o capital t após anos.
(d) Compare as três aplicações descritas acima e decida qual delas é mais rentável.

Passo 1

O enunciado do exercício: um investidor com capital inicial C0>0 investe à taxa anual de alpha%. Precisamos usar progressões geométricas, limites de sequência e equações diferenciais para encontrar o capital após t anos nos três casos: rendimento anual, rendimento em k períodos e rendimento contínuo.

Passo 2

Para o caso de rendimento uma vez ao ano, reconhecemos que a cada ano o capital se multiplica por 1+alpha. Assim após 1 ano temos C1=C0(1+alpha), e por repetição em progressão geométrica, após t anos:
C(t)=C0(1+alpha)^t
Esse é um PG de razão 1+alpha.

Passo 3

Quando há k composições ao ano, a cada período de duração 1/k ano a taxa efetiva é alpha/k. Logo o fator de multiplicação por período é 1+alpha/k e há kt períodos em t anos, gerando:
C(t)=C0l(1+alphakr)^kt
Aqui também formamos uma PG de razão 1+alpha/k com kt termos.

Passo 4

Para estudar o limite quando ktoinfty, usamos a definição do número e:
limktoinftyl(1+alphakr)^k = e^alpha
Portanto limktoinftyC(t)=C0e^alpha t.

Passo 5

No regime de composição contínua, modelamos o crescimento por uma equação diferencial: dCdt=alpha C. Resolvendo essa ED de variável separável, obtemos
C(t)=C0e^alpha t

Passo 6

Comparando as três fórmulas, vemos que para todo t>0 e k>=1:
C0(1+alpha)^t <= C0l(1+alphakr)^kt<= C0e^alpha t,
onde a igualdade à direita só ocorre no limite ktoinfty. Logo a aplicação mais rentável é a de composição contínua.

Resposta

a) C(t)=C0(1+alpha)^t
b) C(t)=C0l(1+alphakr)^kt, e quando ktoinfty tende a C0e^alpha t.
c) C(t)=C0e^alpha t.
d) A mais rentável é a composição contínua.

Exercícios relacionados