Considere a superfície
, união de
e
, onde
tem equação
com
, e
é o gráfico da função
definida no conjunto
, onde
.
Esboce a superfície
.
Esboce a superfície
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a superfície S que é a união de duas partes: um cilindro (S₁) e um cone (S₂). O conteúdo envolve superfícies em coordenadas cilíndricas e parametrizações simples para visualizar em 3D.
Passo 2
A parte S₁ é dada por
com
. Isso é um cilindro de raio 2, de altura 2, paralelo ao eixo z. Podemos parametrizá-lo por
,
,
.
A parte S₂ é o gráfico de
no anel
. Em coordenadas cilíndricas isso vira
para
,
. É uma parte lateral de um cone de semi-ângulo 45°, entre as alturas
e
.
Passo 3
Para esboçar, primeiro desenhe o cilindro de raio 2 e altura 2. Marque no plano z=0 um círculo de raio 2 e leve-o até z=2. Depois, na borda superior desse cilindro (raio 2 em z=2), imagine o cone que sobe com inclinação 45° até a última seção circular de raio 5 em z=5.
Reúna as duas peças: a superfície S é essa “mistura” de cilindro embaixo e cone em cima, sem tampas no topo ou na base. A aresta de junção entre cilindro e cone fica no círculo de raio 2 em z=2.
Passo 4
No esboço, puxe linhas verticais para o cilindro e linhas inclinadas a 45° para o cone, completando as curvas circulares nos níveis z=0, z=2 e z=5 para ajudar na visualização.
Resposta
A superfície S é a união de um cilindro vertical de raio 2 e altura 2 (de z=0 a z=2) com a parte lateral do cone z=r (45°) para r de 2 a 5 (de z=2 a z=5). No esboço, desenhe primeiro o cilindro de raio 2 até z=2 e, a partir daí, o cone até atingir raio 5 em z=5.