Seja
a superfície definida por
.
Identifique a interseção de
com o plano
, quando
.
Identifique a interseção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de geometria envolvendo superfícies no espaço. A gente precisa encontrar como a superfície
, definida por
, se cruza com o plano horizontal
. Vamos precisar usar um pouquinho de álgebra e entender como essas formas se relacionam no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das duas superfícies que estão se intersectando:
- A superfície
: - O plano:
Para encontrar a interseção, vamos igualar as duas equações, porque no ponto de interseção, elas devem ter o mesmo valor de
.
Passo 3
Então, vamos igualar as duas expressões para
:
Agora, vamos isolar a raiz quadrada:
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, olhamos para a equação
. Essa é a equação de um círculo no plano
com raio
.
Vamos analisar os diferentes casos:
-
Quando
: Aqui,é positivo, então temos um círculo com raio . Isso significa que a interseção entre e o plano é um círculo com raio . -
Quando
: Nesse caso,, então a equação vira . Isso só é possível quando e , ou seja, um único ponto na origem. Portanto, a interseção é apenas o ponto . -
Quando
: Aqui,é negativo, mas como estamos falando do raio, que é uma medida de comprimento, usamos o valor absoluto. Então, . Isso nos dá um círculo com raio . Portanto, a interseção é um círculo com raio .
Resposta
A interseção da superfície
com o plano
é:
- Um círculo de raio
quando , - O ponto
quando , - Um círculo de raio
quando .