Seja S a superfície definida por z=2+raizx^2+y^2.
Identifique a interseção de S com o plano z=k, quando k<2, k=2 e k>2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de geometria envolvendo superfícies no espaço. A gente precisa encontrar como a superfície , definida por , se cruza com o plano horizontal . Vamos precisar usar um pouquinho de álgebra e entender como essas formas se relacionam no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das duas superfícies que estão se intersectando:
  1. A superfície :
  2. O plano:
Para encontrar a interseção, vamos igualar as duas equações, porque no ponto de interseção, elas devem ter o mesmo valor de .

Passo 3

Então, vamos igualar as duas expressões para 2 + raizx^2 + y^2 = k :
raizx^2 + y^2 = k - 2
Agora, vamos isolar a raiz quadrada:
x^2 + y^2 = (k - 2)^2
Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, olhamos para a equação . Essa é a equação de um círculo no plano com raio .
Vamos analisar os diferentes casos:
  1. Quando :
    Aqui, é positivo, então temos um círculo com raio . Isso significa que a interseção entre e o plano é um círculo com raio .
  2. Quando :
    Nesse caso, , então a equação vira . Isso só é possível quando e , ou seja, um único ponto na origem. Portanto, a interseção é apenas o ponto .
  3. Quando :
    Aqui, é negativo, mas como estamos falando do raio, que é uma medida de comprimento, usamos o valor absoluto. Então, . Isso nos dá um círculo com raio . Portanto, a interseção é um círculo com raio .

Resposta

A interseção da superfície com o plano é:
  • Um círculo de raio quando ,
  • O ponto quando ,
  • Um círculo de raio quando .

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