Mostre que a EDO (x^3-y^3) d x+x y^2 d y=0 é homogênea e em seguida resolva-a.

Passo 1

Temos a EDO (x^3 - y^3),dx + x,y^2,dy = 0. Isso é uma equação diferencial do tipo homogênea, ou seja, as funções M(x,y)=x^3 - y^3 e N(x,y)=x,y^2 são homogêneas do mesmo grau. Para resolver, vamos usar a substituição y = u x.

Passo 2

Verificamos a homogeneidade calculando M(lambda x, lambda y) = (lambda x)^3 - (lambda y)^3 = lambda^3(x^3 - y^3) = lambda^3 M(x,y) e N(lambda x, lambda y) = (lambda x),(lambda y)^2 = lambda^3 x,y^2 = lambda^3 N(x,y). Como ambas são de grau 3, a EDO é homogênea.

Passo 3

Fazendo a troca y = u x, temos dy = u,dx + x,du. Substituindo na equação original:
(x^3 - u^3 x^3),dx + x,(u x)^2,(u,dx + x,du) = 0,
que simplifica a
x^3(1 - u^3),dx + u^2 x^3(u,dx + x,du) = x^3,dx + u^2 x^4,du = 0

Passo 4

Dividindo tudo por x^3, obtemos
dx + u^2 x,du = 0
Isso é separável:
dxx = -u^2,du

Passo 5

Agora integramos dos dois lados:
integral dxx = -integral u^2,du implies ln|x| = -u^33 + C

Passo 6

Voltando a u = yx,
ln|x| + 13l(yxr)^3 = C,
que é a solução geral implícita da EDO.

Resposta

ln|x| + y^33x^3 = C

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