Esboce o mapa de contorno e o gráfico da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe o mapa de contorno (curvas de nível) e o gráfico 3D da função por partes
Conteúdo: superfícies definidas em função de x²+y², portanto simetria circular. Vamos usar coordenadas polares e resolver f(x,y)=c para achar as curvas de nível.
Conteúdo: superfícies definidas em função de x²+y², portanto simetria circular. Vamos usar coordenadas polares e resolver f(x,y)=c para achar as curvas de nível.
Passo 2
Como a função depende só de r=√(x²+y²), reescrevemos em polares:
f®=
f®=
Isso mostra que, radialmente, temos um paraboloide invertido até r=2 e, fora disso, um “cone” invertido.
Passo 3
Para o mapa de contorno resolvemos f®=c em cada ramo:
- Se r≤2 (6−r²=c) então r=√(6−c), válido quando √(6−c)≤2 ⇔ c≥2 e c≤6.
- Se r≥2 (4−r=c) então r=4−c, válido quando 4−c≥2 ⇔ c≤2.
Portanto cada curva de nível é um círculo de raio
Passo 4
Com isso, o esboço do mapa de contorno é:
- Para c decrescendo de 6 até 2, círculos concêntricos de raios √(6−c) variando de 0 até 2.
- No nível c=2, único círculo de raio 2 (vindo dos dois lados).
- Para c<2, círculos concêntricos de raio crescente r=4−c>2.
Passo 5
Para o gráfico 3D:
- No interior do disco r≤2, é a parte superior do paraboloide invertido z=6−r², que tem vértice em (0,0,6) e desce até z=2 em r=2.
- No exterior r≥2, é o “cone” invertido z=4−r, que em r=2 vale z=2 e depois decresce linearmente.
- As duas peças se encontram continuamente em r=2, z=2, mas a derivada radial tem salto (não é suave).
Resposta
O mapa de contorno é formado por círculos concêntricos centrados na origem com raio
mostrando círculos internos (paraboloide) para 2≤c≤6 e externos (cone) para c≤2. O gráfico 3D é o sorriso de um paraboloide invertido (z=6−r²) sobre o disco r≤2, juntando-se de forma contínua em r=2,z=2 a um cone invertido (z=4−r) que se estende para r≥2.