Considere a superfície
.
Descreva a superfície como gráfico de uma função
. A função
obtida é diferenciável (em todos os pontos)?
Descreva a superfície como gráfico de uma função
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a superfície dada pela equação implícita
, com
, como gráfico de uma função
. O tema é função implícita e vamos usar a ideia de isolar
e depois checar diferenciabilidade por derivadas parciais.
Passo 2
Como temos
, podemos isolar
e obter
Pela condição
Passo 3
Para verificar diferenciabilidade em
, calculamos as derivadas parciais usando regra da cadeia. Para
temos
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{r},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{r}.
$$
Essas expressões são contínuas sempre que , logo
é diferenciável em todo ponto com
por critérios de derivadas contínuas.
Essas expressões são contínuas sempre que
Passo 4
No ponto
tentamos as derivadas parciais:
que não tem limite único (fica
se
e
se
). Logo
não é diferenciável em
.
Resposta
A superfície é dado pelo gráfico de
. Essa função é diferenciável em todos os pontos exceto em
.