Considere a superfície x^2+y^2-z^2=0, z >= 0.
Descreva a superfície como gráfico de uma função f(x, y). A função f obtida é diferenciável (em todos os pontos)?

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a superfície dada pela equação implícita x^2 + y^2 - z^2 = 0, com z>=0, como gráfico de uma função f(x,y). O tema é função implícita e vamos usar a ideia de isolar z e depois checar diferenciabilidade por derivadas parciais.

Passo 2

Como temos x^2+y^2-z^2=0, podemos isolar z^2 e obter
z^2 = x^2 + y^2
Pela condição z>=0, a única escolha é a raiz positiva. Assim definimos
f(x,y)=raizx^2+y^2

Passo 3

Para verificar diferenciabilidade em (x,y)neq(0,0), calculamos as derivadas parciais usando regra da cadeia. Para r=raizx^2+y^2 temos
$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{r},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{r}.
$$
Essas expressões são contínuas sempre que partial fpartial x=xr, partial fpartial y=yr , logo r>0 é diferenciável em todo ponto com f por critérios de derivadas contínuas.

Passo 4

No ponto (0,0) tentamos as derivadas parciais:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h = limhto0|h|h,
que não tem limite único (fica +1 se h>0 e -1 se h<0). Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A superfície é dado pelo gráfico de f(x,y)=raizx^2+y^2. Essa função é diferenciável em todos os pontos exceto em (0,0).

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