Utilize diferenciais para estimar o volume, em cm^3, de um copo cilíndrico de medidas externas: 6 cm de diâmetro da base e 10 cm de altura, sendo a espessura das paredes do copo constante igual a 0,05 cm.

Passo 1

O enunciado pede estimar o volume de material de um copo cilíndrico de diâmetro externo 6 cm e altura 10 cm, sabendo que a espessura da parede é 0,05 cm. O conteúdo é aplicação de diferenciais para aproximar a variação de volume de um cilindro quando o raio muda ligeiramente.

Passo 2

Definimos o volume externo de um cilindro de raio R=3 cm e altura h=10 cm pela fórmula
V = ,pi R^2 h
A espessura da parede é De cm, que causa uma pequena mudança no raio interno.

Passo 3

Para usar diferenciais, calculamos
dV = partial Vpartial R,dR + partial Vpartial h,dh
Como a altura não muda no interior do copo, temos dh=0. Além disso, tomamos dR=De para estimar o volume de material.

Passo 4

Derivando V=pi R^2 h em relação a R, obtemos
partial Vpartial R=2pi R h
Logo a variação aproximada de volume é
dVapprox 2pi R h,dR

Passo 5

Substituindo R=3 cm, h=10 cm e dR=0,05 cm, vem
dVapprox 2pi cdot 3 cdot 10 cdot 0,05 = 3pi
Em valor decimal, isso dá aproximadamente 3piapprox9,42 cm³.

Resposta

3piapprox9,42 cm^3

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