Considere a superfície .
Mostre que para todo ponto a reta normal ao gráfico de que passa por intersecta o eixo .
Passo 1
Temos a superfície implícita com . Podemos encará-la como o gráfico de uma função , e o objetivo é mostrar que, para todo , a reta normal a esse gráfico que passa por cruza o eixo . Vamos usar derivadas parciais, o vetor normal e equação paramétrica da reta.
Passo 2
Como e , isolamos e definimos a função
Passo 3
Para o gráfico de , o vetor normal numa ponto vem de . Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Logo o vetor normal é
Passo 5
Escrevemos a equação paramétrica da reta normal saindo de :
Passo 6
Para achar a interseção com o eixo Oz impomos X(t)=0 e Y(t)=0. De ambas vem
t=raizx^2+y^2
Passo 7
Substituindo em Z(t) obtemos
Z = raizx^2+y^2 + raizx^2+y^2 = 2raizx^2+y^2
Resposta
A reta normal intercepta o eixo Oz no ponto l(0,0,2raizx^2+y^2r), mostrando que sempre há interseção para todo (x,y)neq(0,0).