Considere a superfície x^2+y^2-z^2=0, z >= 0.
Mostre que para todo ponto (x, y) neq(0,0) a reta normal ao gráfico de f que passa por (x, y, f(x, y)) intersecta o eixo O z.

Passo 1

Temos a superfície implícita x^2 + y^2 - z^2 = 0 com z >= 0. Podemos encará-la como o gráfico de uma função z = f(x,y), e o objetivo é mostrar que, para todo (x,y)neq(0,0), a reta normal a esse gráfico que passa por (x,y,f(x,y)) cruza o eixo Oz. Vamos usar derivadas parciais, o vetor normal e equação paramétrica da reta.

Passo 2

Como z>=0 e x^2+y^2-z^2=0, isolamos z e definimos a função
f(x,y)=raizx^2+y^2

Passo 3

Para o gráfico de f, o vetor normal numa ponto (x,y,f(x,y)) vem de -fx,-fy,1. Calculamos as derivadas parciais:
fx=xraizx^2+y^2, fy=yraizx^2+y^2

Passo 4

Logo o vetor normal é
vec n = l(-tfracxraizx^2+y^2,,-tfracyraizx^2+y^2,1r)

Passo 5

Escrevemos a equação paramétrica da reta normal saindo de (x,y,raizx^2+y^2):
X(t)=x - tfracxraizx^2+y^2,t, Y(t)=y - tfracyraizx^2+y^2,t, Z(t)=raizx^2+y^2 + t

Passo 6

Para achar a interseção com o eixo Oz impomos X(t)=0 e Y(t)=0. De ambas vem
t=raizx^2+y^2

Passo 7

Substituindo em Z(t) obtemos
Z = raizx^2+y^2 + raizx^2+y^2 = 2raizx^2+y^2

Resposta

A reta normal intercepta o eixo Oz no ponto l(0,0,2raizx^2+y^2r), mostrando que sempre há interseção para todo (x,y)neq(0,0).

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