Considere as superfícies S_{1}: x^{2} z+y^{2} z=2 e S_{2}: x^{2}+2 x y+y^{2}+4 z=8.
a) Determine os pontos em que S_{1} e S_{2} se tangenciam.
b) Considere a curva C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}-2 x+y^{2}+2 y=0\right. e \left.x y+z=1\right\} e seja r a reta que passa pelos pontos encontrados no item anterior. Determine os pontos de C nos quais a reta tangente a C é paralela à reta r.

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede duas coisas:
  • Superfícies: S_{1}:\; x^{2}z+y^{2}z=2
S_{2}:\; x^{2}+2xy+y^{2}+4z=8
  • (a) Determinar os pontos em que S_{1} e S_{2} se tangenciam (isto é, pontos comuns onde as tangentes coincidem).
  • (b) A curva
    C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: x^{2}-2x+y^{2}+2y=0,\; xy+z=1\}
    e a reta r que passa pelos pontos encontrados no item (a). Pedem-se os pontos de C onde a reta tangente à curva C é paralela à reta r.
Essas são as informações e perguntas que usaremos. Não começo a resolver ainda; a resolução vem nos próximos passos.

Passo 2

Ideia para (a): quando duas superfícies de nível F_{1}(x,y,z)=0 e F_{2}(x,y,z)=0 têm tangentes coincidentes num ponto comum, os vetores normais às superfícies naquele ponto são paralelos. O vetor normal a uma superfície de nível é o gradiente da função que define a superfície. Portanto, vou definir funções F_{1} e F_{2} cujos níveis nulos correspondem às superfícies e igualar seus gradientes até um fator escalar (ou seja, procurar \nabla F_{1}=\lambda\nabla F_{2}), junto com as equações das superfícies. Primeiro escrevo as funções:
F_{1}(x,y,z)=x^{2}z+y^{2}z-2=z(x^{2}+y^{2})-2,
F_{2}(x,y,z)=x^{2}+2xy+y^{2}+4z-8.

Passo 3

Calculo os gradientes (lembre: \nabla F=(\partial_x F,\partial_y F,\partial_z F)):
\nabla F_{1}=(2xz,\;2yz,\;x^{2}+y^{2}),
\nabla F_{2}=(2x+2y,\;2x+2y,\;4).
Para tangência existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\nabla F_{1}=\lambda\nabla F_{2}.
Isso dá o sistema (escrevo dividindo por 2 nas duas primeiras componentes para simplificar):
\begin{cases} xz=\lambda(x+y),\\[4pt] yz=\lambda(x+y),\\[4pt] x^{2}+y^{2}=4\lambda, \end{cases}
além das duas equações das superfícies:
z(x^{2}+y^{2})=2,
(x+y)^{2}+4z=8.]

Passo 4

Das duas primeiras equações xz=\lambda(x+y) e yz=\lambda(x+y) subtraindo-se uma da outra obtemos
(x-y)z=0.
Se z=0 então da equação z(x^{2}+y^{2})=2 teríamos 0=2, impossível. Logo z\neq0 e portanto devemos ter
x=y.

Passo 5

Com x=y=t (para simplificar), uso a equação z(x^{2}+y^{2})=2:
z(2t^{2})=2\quad\Rightarrow\quad z=\frac{1}{t^{2}}.
Também a outra superfície dá, substituindo x+y=2t,
(2t)^{2}+4z=8 \quad\Rightarrow\quad 4t^{2}+4z=8 \quad\Rightarrow\quad t^{2}+z=2.
Substituo z=\frac{1}{t^{2}} nessa última:
t^{2}+\frac{1}{t^{2}}=2.
Multiplicando por t^{2}:
t^{4}-2t^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad (t^{2}-1)^{2}=0.
Logo t^{2}=1, isto é t=1 ou t=-1.

Passo 6

Calculo z para cada caso: para t=\pm1 temos z=1/t^{2}=1. Assim os pontos de tangência são
(1,1,1)\quad\text{e}\quad(-1,-1,1).
Terminei o item (a).

Passo 7

Agora o item (b). Primeiro descrevo a curva C de forma mais conveniente: a equação
x^{2}-2x+y^{2}+2y=0
pode ser escrita completando quadrados:
(x-1)^{2}-1+(y+1)^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2.
Logo a projeção de C no plano xy é um círculo centrado em (1,-1) de raio \sqrt{2}. A outra equação dá
z=1-xy,
ou seja, z é determinado por x e y.
A reta r que passa por (1,1,1) e (-1,-1,1) tem vetor diretor
\vec{d}=(-1-1,\,-1-1,\;1-1)=(-2,-2,0),
que é paralelo a (1,1,0). Observação importante: a reta r é horizontal ( z constante igual a 1) e aponta na direção (1,1) no plano xy.

Passo 8

Para achar pontos de C cuja reta tangente é paralela a r, posso usar o fato geral: quando C é interseção de duas superfícies G_{1}=0 e G_{2}=0, um vetor tangente a C em um ponto é ortogonal a ambos \nabla G_{1} e \nabla G_{2}. Portanto, se eu quero que a reta tangente seja paralela a (1,1,0), basta exigir que esse vetor (1,1,0) seja ortogonal a \nabla G_{1} e a \nabla G_{2} naquele ponto.
Defino
G_{1}(x,y,z)=x^{2}-2x+y^{2}+2y,
G_{2}(x,y,z)=xy+z-1.
Cálculo os gradientes:
\nabla G_{1}=(2x-2,\;2y+2,\;0),
\nabla G_{2}=(y,\;x,\;1).
Peço que (1,1,0) seja perpendicular a ambos, isto é:
(1,1,0)\cdot\nabla G_{1}=0,\qquad (1,1,0)\cdot\nabla G_{2}=0.

Passo 9

Faço os produtos escalares:
Primeiro,
(1,1,0)\cdot\nabla G_{1}=(2x-2)+(2y+2)=2x+2y.
Exigindo que seja zero dá
2x+2y=0\quad\Rightarrow\quad x+y=0.
Segundo,
(1,1,0)\cdot\nabla G_{2}=y+x=x+y,
que dá a mesma condição x+y=0. Portanto a condição para a tangente de C ser paralela a r é simplesmente x+y=0 (junto com o ponto pertencer a C).

Passo 10

Agora resolvo x+y=0 junto com a equação do círculo (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2. Com y=-x substituo:
(x-1)^{2}+(-x+1)^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad 2(x-1)^{2}=2 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}=1.
Logo x-1=\pm1 e assim x=2 ou x=0. Correspondentemente y=-2 ou y=0.
Agora calculo z pela relação z=1-xy:
  • Para (x,y)=(2,-2): xy=-4 então z=1-(-4)=5. Ponto: (2,-2,5).
  • Para (x,y)=(0,0): xy=0 então z=1. Ponto: (0,0,1).

Passo 11

Verifico rapidamente que esses pontos pertencem a C: para ambos x^{2}-2x+y^{2}+2y=0 (checa-se fácil) e xy+z=1 por construção. Além disso a tangente nesses pontos é paralela a (1,1,0), portanto paralela a r.

Resposta

(a) (1,1,1) e (-1,-1,1)
(b) (0,0,1) e (2,-2,5)

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