Considere as superfícies S_{1}: x^{2} z+y^{2} z=2 e S_{2}: x^{2}+2 x y+y^{2}+4 z=8.
a) Determine os pontos em que S_{1} e S_{2} se tangenciam.
b) Considere a curva C=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}-2 x+y^{2}+2 y=0\right. e \left.x y+z=1\right\} e seja r a reta que passa pelos pontos encontrados no item anterior. Determine os pontos de C nos quais a reta tangente a C é paralela à reta r.
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede duas coisas:
Superfícies:S_{1}:\; x^{2}z+y^{2}z=2
S_{2}:\; x^{2}+2xy+y^{2}+4z=8
(a) Determinar os pontos em que S_{1} e S_{2} se tangenciam (isto é, pontos comuns onde as tangentes coincidem).
e a reta r que passa pelos pontos encontrados no item (a). Pedem-se os pontos de C onde a reta tangente à curva C é paralela à reta r.
Essas são as informações e perguntas que usaremos. Não começo a resolver ainda; a resolução vem nos próximos passos.
Passo 2
Ideia para (a): quando duas superfícies de nível F_{1}(x,y,z)=0 e F_{2}(x,y,z)=0 têm tangentes coincidentes num ponto comum, os vetores normais às superfícies naquele ponto são paralelos. O vetor normal a uma superfície de nível é o gradiente da função que define a superfície. Portanto, vou definir funções F_{1} e F_{2} cujos níveis nulos correspondem às superfícies e igualar seus gradientes até um fator escalar (ou seja, procurar \nabla F_{1}=\lambda\nabla F_{2}), junto com as equações das superfícies. Primeiro escrevo as funções:
F_{1}(x,y,z)=x^{2}z+y^{2}z-2=z(x^{2}+y^{2})-2,
F_{2}(x,y,z)=x^{2}+2xy+y^{2}+4z-8.
Passo 3
Calculo os gradientes (lembre: \nabla F=(\partial_x F,\partial_y F,\partial_z F)):
\nabla F_{1}=(2xz,\;2yz,\;x^{2}+y^{2}),
\nabla F_{2}=(2x+2y,\;2x+2y,\;4).
Para tangência existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\nabla F_{1}=\lambda\nabla F_{2}.
Isso dá o sistema (escrevo dividindo por 2 nas duas primeiras componentes para simplificar):
Logo a projeção de C no plano xy é um círculo centrado em (1,-1) de raio \sqrt{2}. A outra equação dá
z=1-xy,
ou seja, z é determinado por x e y.
A reta r que passa por (1,1,1) e (-1,-1,1) tem vetor diretor
\vec{d}=(-1-1,\,-1-1,\;1-1)=(-2,-2,0),
que é paralelo a (1,1,0). Observação importante: a reta r é horizontal (z constante igual a 1) e aponta na direção (1,1) no plano xy.
Passo 8
Para achar pontos de C cuja reta tangente é paralela a r, posso usar o fato geral: quando C é interseção de duas superfícies G_{1}=0 e G_{2}=0, um vetor tangente a C em um ponto é ortogonal a ambos \nabla G_{1} e \nabla G_{2}. Portanto, se eu quero que a reta tangente seja paralela a (1,1,0), basta exigir que esse vetor (1,1,0) seja ortogonal a \nabla G_{1} e a \nabla G_{2} naquele ponto.
Defino
G_{1}(x,y,z)=x^{2}-2x+y^{2}+2y,
G_{2}(x,y,z)=xy+z-1.
Cálculo os gradientes:
\nabla G_{1}=(2x-2,\;2y+2,\;0),
\nabla G_{2}=(y,\;x,\;1).
Peço que (1,1,0) seja perpendicular a ambos, isto é:
Logo x-1=\pm1 e assim x=2 ou x=0. Correspondentemente y=-2 ou y=0.
Agora calculo z pela relação z=1-xy:
Para (x,y)=(2,-2): xy=-4 então z=1-(-4)=5. Ponto: (2,-2,5).
Para (x,y)=(0,0): xy=0 então z=1. Ponto: (0,0,1).
Passo 11
Verifico rapidamente que esses pontos pertencem a C: para ambos x^{2}-2x+y^{2}+2y=0 (checa-se fácil) e xy+z=1 por construção. Além disso a tangente nesses pontos é paralela a (1,1,0), portanto paralela a r.