Determine e esboce a superfície de nível
da função
, onde:
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar e esboçar a superfície de nível
da função
dada por
com
.
Informações dadas:
Informações dadas:
A tarefa é encontrar o conjunto de pontos
que satisfazem
e descrever/representar geometricamente essa superfície.
Passo 2
Escrevemos a equação da superfície de nível substituindo
:
Isolando
obtemos uma forma mais explícita da superfície:
Isso já nos dá a equação implícita da superfície: é o conjunto de todos os pontos
tais que
é igual à soma de quadrados
.
Passo 3
Interpretação imediata da equação isolada: como
e
para todo
, concluímos que
Logo a superfície só tem pontos com
. Em particular o vértice da superfície (o ponto com menor coordenada
) ocorre em
, isto é no ponto
.
Passo 4
Classificação da superfície (aula curtinha, passo a passo): uma equação do tipo
com
e
, é chamada de paráboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo
. No nosso caso
e
, portanto a superfície é um paráboloide elíptico com vértice em
e eixo coincidente com o eixo
(ou seja, abre para
positivo).
Passo 5
Traços (cross-sections) para ajudar a esboçar — esta é a técnica prática que funciona numa prova:
- Traço com plano
fixo:
Se
não há solução; se
só temos o ponto
; se
a seção é uma elipse no plano paralelo ao plano
. Escrevendo em forma normalizada:
logo os semi-eixos da elipse são
na direção
e
na direção
.
- Traço com plano
:
que é uma parábola no plano
abrindo para
positivo (vértice em
).
- Traço com plano
:
outra parábola no plano
abrindo para
positivo, mais “estreita” que
porque o coeficiente é maior.
- Traço com plano
(exemplo numérico simples para desenhar): elipse com semi-eixos (em ) e (em ). Para os semi-eixos são e , respectivamente. Esses exemplos ajudam a posicionar “fatias” elípticas da superfície.
Passo 6
Parâmetros úteis para esboçar (opção prática): podemos parametrizar a superfície usando um parâmetro radial
e um ângulo
. Tome
Então
e assim
Uma parametrização conveniente é, portanto,
Isso mostra como as ‘circunferências’ em coordenadas polares do plano
se transformam em elipses para cada
.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (receita rápida e amiga):
- Desenhe os eixos coordenados com o eixo
apontando para a direita. Marque o vértice em . - Para alguns valores de
(por exemplo ) desenhe elipses no plano com semieixos indicados no Passo 5. Essas elipses crescem com . - Conecte suavemente essas elipses formando uma “tigela” alongada que abre para a direita (direção positiva de
). Lembre-se que não há parte da superfície para . - Verifique os traços
e nos planos coordenados para orientar a curvatura nas direções e .
Resposta
Paráboloide elíptico com vértice em