Determine e esboce a superfície de nível c da função f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, onde:
f(x, y, z)=x-y^{2}-4 z^{2} e c=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar e esboçar a superfície de nível c da função f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} dada por
f(x,y,z)=x-y^{2}-4z^{2},
com c=0.
Informações dadas:
\text{função: }f(x,y,z)=x-y^{2}-4z^{2}, \qquad \text{constante de nível: }c=0.çãí
A tarefa é encontrar o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem f(x,y,z)=0 e descrever/representar geometricamente essa superfície.

Passo 2

Escrevemos a equação da superfície de nível substituindo c=0:
x-y^{2}-4z^{2}=0.
Isolando x obtemos uma forma mais explícita da superfície:
x = y^{2}+4z^{2}.
Isso já nos dá a equação implícita da superfície: é o conjunto de todos os pontos (x,y,z) tais que x é igual à soma de quadrados y^{2}+4z^{2}.

Passo 3

Interpretação imediata da equação isolada: como y^{2}\ge 0 e 4z^{2}\ge 0 para todo y,z, concluímos que
x = y^{2}+4z^{2}\ge 0.
Logo a superfície só tem pontos com \,x\ge 0. Em particular o vértice da superfície (o ponto com menor coordenada x) ocorre em y=0,z=0, isto é no ponto (0,0,0).

Passo 4

Classificação da superfície (aula curtinha, passo a passo): uma equação do tipo
x = a y^{2} + b z^{2},
com a>0 e b>0, é chamada de paráboloide elíptico que se abre na direção positiva do eixo x. No nosso caso a=1>0 e b=4>0, portanto a superfície é um paráboloide elíptico com vértice em (0,0,0) e eixo coincidente com o eixo x (ou seja, abre para x positivo).

Passo 5

Traços (cross-sections) para ajudar a esboçar — esta é a técnica prática que funciona numa prova:
  • Traço com plano x=x_{0} fixo:
y^{2}+4z^{2}=x_{0}.
Se x_{0}<0 não há solução; se x_{0}=0 só temos o ponto (0,0,0); se x_{0}>0 a seção é uma elipse no plano paralelo ao plano yz. Escrevendo em forma normalizada:
\frac{y^{2}}{x_{0}}+\frac{z^{2}}{x_{0}/4}=1,
logo os semi-eixos da elipse são \sqrt{x_{0}} na direção y e \sqrt{x_{0}/4}=\dfrac{\sqrt{x_{0}}}{2} na direção z.
  • Traço com plano z=0:
x = y^{2},
que é uma parábola no plano xy abrindo para x positivo (vértice em (0,0)).
  • Traço com plano y=0:
x = 4z^{2},
outra parábola no plano xz abrindo para x positivo, mais “estreita” que x=y^{2} porque o coeficiente é maior.
  • Traço com plano x=1 (exemplo numérico simples para desenhar): elipse com semi-eixos 1 (em y) e \tfrac{1}{2} (em z). Para x=4 os semi-eixos são 2 e 1, respectivamente. Esses exemplos ajudam a posicionar “fatias” elípticas da superfície.

Passo 6

Parâmetros úteis para esboçar (opção prática): podemos parametrizar a superfície usando um parâmetro radial r\ge 0 e um ângulo \theta\in[0,2\pi). Tome
y = r\cos\theta,\qquad z=\frac{r}{2}\sin\theta.
Então
y^{2}+4z^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta + 4\cdot\frac{r^{2}}{4}\sin^{2}\theta = r^{2},
e assim
x = r^{2}.
Uma parametrização conveniente é, portanto,
(x,y,z) = \big(r^{2},\; r\cos\theta,\; \tfrac{r}{2}\sin\theta\big), \qquad r\ge 0,\\ \theta\in[0,2\pi).
Isso mostra como as ‘circunferências’ em coordenadas polares do plano yz se transformam em elipses para cada x=r^{2}.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (receita rápida e amiga):
  1. Desenhe os eixos coordenados com o eixo x apontando para a direita. Marque o vértice em (0,0,0).
  2. Para alguns valores de x>0 (por exemplo x=1,4) desenhe elipses no plano yz com semieixos indicados no Passo 5. Essas elipses crescem com x.
  3. Conecte suavemente essas elipses formando uma “tigela” alongada que abre para a direita (direção positiva de x). Lembre-se que não há parte da superfície para x<0.
  4. Verifique os traços x=y^{2} e x=4z^{2} nos planos coordenados para orientar a curvatura nas direções y e z.

Resposta

\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x = y^{2}+4z^{2}\}
Paráboloide elíptico com vértice em (0,0,0), eixo ao longo do eixo x, abrindo para x positivo.

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