Calcule:
\int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3}+1} d x\right] d y

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral iterada
\int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3}+1}\, d x\right] d y.
Informações dadas:
  • A integral externa tem y variando de 0 até 1.
  • Para cada y fixo, a integral interna tem x variando de \sqrt{y} até 1.
  • A função integranda na integral interna é \sqrt{x^{3}+1}, que depende apenas de x, e não de y.

Passo 2

Vamos visualizar a região de integração no plano (x,y). As condições são
0\le y\le 1,\qquad \sqrt{y}\le x\le 1.
A desigualdade \sqrt{y}\le x é equivalente a y\le x^{2} (como x\ge 0 aqui, pois x vai até 1). Portanto os pontos (x,y) da região satisfazem
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le x^{2}.
Ou seja, a região é: para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até x^{2}.

Passo 3

Como \sqrt{x^{3}+1} não depende de y, é conveniente trocar a ordem de integração. Reescrevendo o integral com a nova ordem obtemos
\int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3}+1}\, d x\right] d y = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x^{2}} \sqrt{x^{3}+1}\, d y\right] d x.

Passo 4

Agora integramos em y dentro do colchete. Como \sqrt{x^{3}+1} é constante em relação a y,
\int_{0}^{x^{2}} \sqrt{x^{3}+1}\, d y = \sqrt{x^{3}+1}\cdot \left[x\right]_{y=0}^{y=x^{2}} = \sqrt{x^{3}+1}\cdot x^{2}.
Portanto o integral reduz-se a
\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\, d x.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\, d x
fazemos a substituição natural que elimina a parte dentro da raiz. Definimos
u = x^{3}+1.
Derivando, obtemos
du = 3x^{2}\, dx\quad\Rightarrow\quad x^{2}\, dx = \frac{1}{3}\, du.
Quando x=0 temos u=1. Quando x=1 temos u=2. Assim a integral em x transforma-se em uma integral em u:

Passo 6

Aplicando a substituição temos
\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\, d x = \frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{1/2}\, du.
Calculamos a primitiva de u^{1/2}:
\int u^{1/2}\, du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\frac{1}{3}\int_{1}^{2} u^{1/2}\, du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\left[u^{3/2}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{9}\left(2^{3/2}-1^{3/2}\right).

Passo 7

Simplificando 1^{3/2}=1 e 2^{3/2}=2\sqrt{2}, obtemos
\frac{2}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) = \frac{2}{9}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr) = \frac{4\sqrt{2}-2}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)

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