Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral iterada
Informações dadas:
- A integral externa tem
variando de até . - Para cada
fixo, a integral interna tem variando de até . - A função integranda na integral interna é
, que depende apenas de , e não de .
Passo 2
Vamos visualizar a região de integração no plano
. As condições são
A desigualdade
é equivalente a
(como
aqui, pois
vai até
). Portanto os pontos
da região satisfazem
Ou seja, a região é: para cada
entre
e
,
varia de
até
.
Passo 3
Como
não depende de
, é conveniente trocar a ordem de integração. Reescrevendo o integral com a nova ordem obtemos
Passo 4
Agora integramos em
dentro do colchete. Como
é constante em relação a
,
Portanto o integral reduz-se a
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição natural que elimina a parte dentro da raiz. Definimos
Derivando, obtemos
Quando
temos
. Quando
temos
. Assim a integral em
transforma-se em uma integral em
:
Passo 6
Aplicando a substituição temos
Calculamos a primitiva de
:
Portanto
Passo 7
Simplificando
e
, obtemos