Considere a superposição de duas ondas:
\begin{aligned} & y_{1}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x-\omega \cdot t) \\\ & y_{2}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x-\omega \cdot t+\varphi) \end{aligned}
sendo y_{m}=(0,20 m), k=\left(10 . m^{-1}\right), \omega=50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \varphi=\pi / 4.
calcule AMPLITUDE da onda resultante (em m).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: calcular a AMPLITUDE da onda resultante da superposição de y_{1} e y_{2} (em metros).
  • Dados fornecidos:
    • y_{1}=y_{m}\cdot\operatorname{sen}(\kappa\cdot x-\omega\cdot t)
    • y_{2}=y_{m}\cdot\operatorname{sen}(\kappa\cdot x-\omega\cdot t+\varphi)
    • y_{m}=(0,20\\ \mathrm{m})
    • \kappa=\left(10\\ \mathrm{m}^{-1}\right)
    • \omega=50\\ \mathrm{rad}\!/\mathrm{s}
    • \varphi=\pi/4

Passo 2

Escrever a soma das ondas e usar a identidade soma-para-produto:
Defina \theta=\kappa\cdot x-\omega\cdot t. Então a soma é
y=y_{1}+y_{2}=y_{m}\bigl[\operatorname{sen}(\theta)+\operatorname{sen}(\theta+\varphi)\bigr].
Usamos a identidade trigonométrica conhecida
\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aplicando com \alpha=\theta e \beta=\theta+\varphi obtemos
y=2y_{m}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\operatorname{sen}\!\left(\theta+\frac{\varphi}{2}\right).

Passo 3

Identificar a amplitude da onda resultante e interpretar:
Na forma
y=A\cdot \operatorname{sen}\!\left(\theta+\frac{\varphi}{2}\right)
o coeficiente A é a amplitude máxima (em valor absoluto). Portanto a amplitude da onda resultante é
A=2y_{m}\,\left|\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right|.
Aqui:
  • y_{m} é a amplitude de cada uma das ondas iniciais;
  • \varphi é a diferença de fase entre elas;
  • o valor absoluto garante que a amplitude seja não negativa.

Passo 4

Calcular numericamente \cos\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right) para \varphi=\pi/4:
\frac{\varphi}{2}=\frac{\pi}{8}.
Usando a fórmula de meia-ângulo (ou sabendo que \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}):
\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)}{2}} =\sqrt{\frac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}.
Numericamente,
\cos\!\left(\frac{\pi}{8}\right)\approx 0,9239.

Passo 5

Substituir os valores em A=2y_{m}\left|\cos\!\left(\dfrac{\varphi}{2}\right)\right|:
A=2\cdot(0,20\\ \mathrm{m})\cdot 0,9239
(essa é a expressão numérica que leva à amplitude final).

Resposta

0,3696\\ \mathrm{m}

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