Considere um tubo de \mathbf{5 0 c m} com as duas extremidades fechadas. Se tem uma onda estacionária com 3 nós dentro do tubo, qual a frequência deste modo?
Considere a velocidade do som no ar sendo \mathbf{3 4 0} \boldsymbol{m} / \boldsymbol{s}
DICAS:
Faça o desenho do modo fundamental -> 1^{\circ} excitado -> 2^{\circ} excitado … -> modo desejado.

Passo 1

O enunciado diz: um tubo de 50\\ \text{cm} com as duas extremidades fechadas apresenta uma onda estacionária com 3 nós dentro do tubo. A velocidade do som no ar vale 340\\ \text{m/s}. A pergunta: qual a frequência desse modo?
Informações relevantes dadas:
  • Comprimento do tubo: L = 50\\ \text{cm} = 0,50\\ \text{m}.
  • Velocidade do som: v = 340\\ \text{m/s}.
  • 3 nós dentro do tubo (informação sobre o padrão da onda estacionária).
O que se pede: a frequência f do modo estacionário correspondente a esse padrão de nós.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): em um tubo com as duas extremidades fechadas as extremidades são pontos de deslocamento nulo (nós). Os modos normais desse sistema correspondem a um número inteiro de meios comprimentos de onda ( \lambda/2) encaixados no comprimento do tubo. Em fórmula:
L = n\frac{\lambda}{2},
onde n=1,2,3,\dots é o número do harmônico (modo): n=1 é o fundamental, n=2 1.º harmônico excitado (segunda harmônica), etc.
Explicação do porquê: cada \lambda/2 tem um nó em cada extremidade e um antinódo no meio desse trecho; concatenando n desses trechos obtemos o padrão ao longo do tubo.

Passo 3

Relação entre número de nós e n: para cordas/tubos com as duas extremidades como nós, o modo n apresenta (n+1) nós no total (contando as duas extremidades). Exemplos para fixar:
  • n=1 (fundamental): n+1=2 nós (apenas as duas extremidades).
  • n=2: n+1=3 nós (as duas extremidades e um nó no meio).
    Logo, se o enunciado diz que há 3 nós dentro do tubo, isso corresponde a
n+1 = 3 \quad\Rightarrow\quad n = 2.

Passo 4

Agora uso a fórmula que relaciona L, n e \lambda para achar o comprimento de onda do modo:
\lambda = \frac{2L}{n}.
Substituindo L = 0,50\\ \text{m} e n=2:
\lambda = \frac{2\cdot 0,50}{2} = 0,50\\ \text{m}.

Passo 5

Fórmula da frequência para uma onda (relação básica): a velocidade é v = \lambda f. Desse modo,
f = \frac{v}{\lambda}.
Substituindo v = 340\\ \text{m/s} e \lambda = 0,50\\ \text{m}:
f = \frac{340}{0,50} = 680\\ \text{Hz}.

Passo 6

Breta check mental e interpretação: o resultado f=680\\ \text{Hz} corresponde ao segundo harmônico ( n=2), que tem três nós ao longo do tubo (duas extremidades + um nó interior). O procedimento geral que se aplica em provas: identificar n a partir do número de nós (ou de antinós), usar L = n\lambda/2 e então f=v/\lambda. Força — você consegue decorar esse passo a passo e aplicar rápido na prova!

Resposta

680\\ \text{Hz}

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