Considere um tubo de
com uma das extremidades fechada. Se tem uma onda estacionária com 3 nós dentro do tubo, qual a frequência deste modo?
Considere a velocidade do som no ar sendo
DICAS:
- Faça o desenho do modo fundamental ->
excitado ->
excitado … -> modo desejado.
- Deduza a frequência desse modo.
- Não utilize equações prontas.
Resposta: □
DICAS:
Passo 1
O enunciado pede a frequência de uma onda estacionária num tubo de uma extremidade fechada, sabendo que dentro do tubo existem 3 nós. Dados fornecidos:
- comprimento do tubo:
(ou seja, ); - velocidade do som no ar:
; - configuração do tubo: uma extremidade fechada e a outra aberta;
- informação sobre a onda: há 3 nós dentro do tubo.
O que se pede: a frequência do modo que apresenta exatamente 3 nós no interior do tubo.
Passo 2
Entender as condições de contorno e o que é nó/ventre (antinode):
- Num tubo com uma extremidade fechada a deslocamento de ar é zero nessa extremidade: isto é um nó de deslocamento.
- Na extremidade aberta o deslocamento é máximo: isto é um ventre (antinode).
Explicando em palavras fáceis: no lado fechado o ar não se mexe (nó); no lado aberto o ar balança bastante (ventre).
Passo 3
Como as posições de nós e ventres se distribuem numa onda estacionária:
- Nós e ventres alternam-se ao longo do comprimento com separação de
ou dependendo do trecho (mas o importante aqui é ver padrões para o tubo fechado-aberto).
Vamos listar os primeiros modos desenhando mentalmente (distâncias medidas a partir do extremo fechado):
- Modo fundamental (modo mais baixo): há 1 nó (no extremo fechado) e 1 ventre no extremo aberto. O comprimento do tubo corresponde a um quarto de comprimento de onda:
- Primeiro modo excitado (próximo possível): aparecem mais nós; para o próximo caso o tubo contém dois nós (o do extremo fechado e mais um interno) e ainda um ventre na abertura. Isso corresponde a:
- Segundo modo excitado (o seguinte): agora são três nós dentro do tubo (o do extremo fechado + dois internos) e um ventre na abertura. Isso corresponde a:
Observação geral: se
é o número de nós dentro do tubo, a relação entre
e
é
(Isto vem dos casos listados: para
obtém-se
, para
obtém-se
, etc.)
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso pedido: o enunciado diz que há exatamente
nós dentro do tubo, então
. Usando
temos
Isolando
:
Passo 5
Calcular numericamente
e a frequência
. Primeiro
:
Agora a relação fundamental entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
Logo a frequência é
Fazendo a conta:
Passo 6
Checagem rápida e interpretação física: o modo com 3 nós em tubo fechado-corresponde ao terceiro estado excitatório listado (segunda excitação), que é o quinto harmônico relativo ao fundamental (apenas harmônicos ímpares existem:
). A frequência encontrada
faz sentido porque é
vezes a frequência fundamental
:
.