Considere um tubo de \mathbf{5 0 c m} com uma das extremidades fechada. Se tem uma onda estacionária com 3 nós dentro do tubo, qual a frequência deste modo?
Considere a velocidade do som no ar sendo \mathbf{3 4 0 m} \boldsymbol{/} \boldsymbol{s}
DICAS:
  1. Faça o desenho do modo fundamental -> 1^{\circ} excitado -> 2^{\circ} excitado … -> modo desejado.
  2. Deduza a frequência desse modo.
  3. Não utilize equações prontas.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede a frequência de uma onda estacionária num tubo de uma extremidade fechada, sabendo que dentro do tubo existem 3 nós. Dados fornecidos:
  • comprimento do tubo: L = 50\\ \text{cm} (ou seja, L = 0,50\\ \mathrm{m});
  • velocidade do som no ar: v = 340\\ \mathrm{m/s};
  • configuração do tubo: uma extremidade fechada e a outra aberta;
  • informação sobre a onda: há 3 nós dentro do tubo.
    O que se pede: a frequência do modo que apresenta exatamente 3 nós no interior do tubo.

Passo 2

Entender as condições de contorno e o que é nó/ventre (antinode):
  • Num tubo com uma extremidade fechada a deslocamento de ar é zero nessa extremidade: isto é um nó de deslocamento.
  • Na extremidade aberta o deslocamento é máximo: isto é um ventre (antinode).
    Explicando em palavras fáceis: no lado fechado o ar não se mexe (nó); no lado aberto o ar balança bastante (ventre).

Passo 3

Como as posições de nós e ventres se distribuem numa onda estacionária:
  • Nós e ventres alternam-se ao longo do comprimento com separação de \lambda/4 ou \lambda/2 dependendo do trecho (mas o importante aqui é ver padrões para o tubo fechado-aberto).
    Vamos listar os primeiros modos desenhando mentalmente (distâncias medidas a partir do extremo fechado):
  1. Modo fundamental (modo mais baixo): há 1 nó (no extremo fechado) e 1 ventre no extremo aberto. O comprimento do tubo corresponde a um quarto de comprimento de onda:
L = \frac{\lambda}{4}.
  1. Primeiro modo excitado (próximo possível): aparecem mais nós; para o próximo caso o tubo contém dois nós (o do extremo fechado e mais um interno) e ainda um ventre na abertura. Isso corresponde a:
L = \frac{3\lambda}{4}.
  1. Segundo modo excitado (o seguinte): agora são três nós dentro do tubo (o do extremo fechado + dois internos) e um ventre na abertura. Isso corresponde a:
L = \frac{5\lambda}{4}.
Observação geral: se N é o número de nós dentro do tubo, a relação entre L e \lambda é
L = \frac{2N-1}{4}\,\lambda.
(Isto vem dos casos listados: para N=1 obtém-se \lambda/4, para N=2 obtém-se 3\lambda/4, etc.)

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso pedido: o enunciado diz que há exatamente 3 nós dentro do tubo, então N=3. Usando
L = \frac{2N-1}{4}\,\lambda,
temos
L = \frac{2\cdot 3 - 1}{4}\,\lambda = \frac{5}{4}\,\lambda.
Isolando \lambda:
\lambda = \frac{4L}{5}.

Passo 5

Calcular numericamen­te \lambda e a frequência f. Primeiro \lambda:
\lambda = \frac{4L}{5} = \frac{4\cdot 0,50\\ \mathrm{m}}{5} = \frac{2,00\\ \mathrm{m}}{5} = 0,40\\ \mathrm{m}.
Agora a relação fundamental entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
v = \lambda f.
Logo a frequência é
f = \frac{v}{\lambda} = \frac{340\\ \mathrm{m/s}}{0,40\\ \mathrm{m}}.
Fazendo a conta:
f = 850\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Checagem rápida e interpretação física: o modo com 3 nós em tubo fechado-corresponde ao terceiro estado excitatório listado (segunda excitação), que é o quinto harmônico relativo ao fundamental (apenas harmônicos ímpares existem: 1^\text{o},3^\text{o},5^\text{o},\dots). A frequência encontrada 850\\ \mathrm{Hz} faz sentido porque é \dfrac{5}{4} vezes a frequência fundamental \big(f_1 = v/(4L) = 170\\ \mathrm{Hz}\big): \dfrac{5}{4}\cdot 170 = 850\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

850\\ \mathrm{Hz}

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