e pergunta se é um isomorfismo e, em caso afirmativo, qual é . Para ser isomorfismo, deve ser bijetiva (injeção e sobrejeção).
Passo 2
Verificamos a injetividade calculando o núcleo:
Das duas primeiras equações obtemos x=y=0. A terceira então é satisfeita automaticamente. Logo ker T=(0,0), isto é, T é injetiva.
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) temos
dimmathopImT =dimR^2-dimker T =2-0=2
Como dimmathopImT=2<3=dimR^3, T não é sobrejetiva.
Passo 4
Como T não é sobrejetiva, ela não é bijetiva em R^2toR^3 e, portanto, não é isomorfismo global, nem existe T^-1colonR^3toR^2. Contudo, restrita à imagem de T, tem-se isomorfismo entre R^2 e mathopImT. Para (u,v,w)inmathopImT resolvemos
u=x+y, v=x-2y
para obter
y=u-v3, x=2u+v3
Resposta
T não é isomorfismo, pois não é sobrejetiva.
Não existe T^-1 de R^3 em R^2.
Se, porém, restringirmos o contradomínio a mathopImT, então T^-1(u,v,w) =l(tfrac2u+v3,;tfracu-v3r)