Considere a T.L. T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(x+y, x-2 y, 3 x+y).
  1. T é um isomorfismo?
  2. Existe T^-1 ? Caso afirmativo, encontre T^-1

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^2toR^3, T(x,y)=(x+y,;x-2y,;3x+y)
e pergunta se T é um isomorfismo e, em caso afirmativo, qual é T^-1. Para ser isomorfismo, T deve ser bijetiva (injeção e sobrejeção).

Passo 2

Verificamos a injetividade calculando o núcleo:
T(x,y)=(0,0,0) ;Long<=ftrightarrow; x+y=0, x-2y=0, 3x+y=0
Das duas primeiras equações obtemos x=y=0. A terceira então é satisfeita automaticamente. Logo ker T=(0,0), isto é, T é injetiva.

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity) temos
dimmathopImT =dimR^2-dimker T =2-0=2
Como dimmathopImT=2<3=dimR^3, T não é sobrejetiva.

Passo 4

Como T não é sobrejetiva, ela não é bijetiva em R^2toR^3 e, portanto, não é isomorfismo global, nem existe T^-1colonR^3toR^2. Contudo, restrita à imagem de T, tem-se isomorfismo entre R^2 e mathopImT. Para (u,v,w)inmathopImT resolvemos
u=x+y, v=x-2y
para obter
y=u-v3, x=2u+v3

Resposta

  1. T não é isomorfismo, pois não é sobrejetiva.
  2. Não existe T^-1 de R^3 em R^2.
    Se, porém, restringirmos o contradomínio a mathopImT, então T^-1(u,v,w) =l(tfrac2u+v3,;tfracu-v3r)

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