Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y). T é injetora?

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3 to R^3 por
T(x,y,z) = (,x - 2y,;z,;x + y,)
e pergunta se T é injetora. O conteúdo que vamos usar é transformação linear, núcleo e a caracterização:
uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo for trivial.

Passo 2

Para verificar a injetividade, calculamos o núcleo:
ker(T) = (x,y,z)inR^3 mid T(x,y,z) = (0,0,0)
A condição T(x,y,z)=(0,0,0) gera o sistema
x - 2y = 0, z = 0, x + y = 0

Passo 3

Da segunda equação vem ,z=0. Da terceira vem ,x=-y. Substituindo em x - 2y = 0 obtemos
(-y) - 2y = 0 implies -3y = 0 implies y = 0,
logo x = -y = 0. Assim o único vetor que satisfaz T(x,y,z)=(0,0,0) é (0,0,0), ou seja
ker(T) = (0,0,0)

Passo 4

Como ker(T) é apenas o vetor nulo, concluímos que T é injetora.

Resposta

Sim, T é injetora.

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