Questão 1 (2,0 pontos)
Dados os vetores u=(1,-2,3), v=(4,0,-1) e w=(-2,1,5) :
(a) Determine o vetor 3 u-v+2 w
(b) Encontre o valor de k para que u+k v seja ortogonal a w

Passo 1

O enunciado pede duas coisas com os vetores u=(1,-2,3), v=(4,0,-1) e w=(-2,1,5):
  1. Fazer a combinação linear 3u-v+2w.
  2. Achar k de modo que u+kv seja ortogonal a w.
    O conteúdo aqui é manipulação de componentes de vetores e produto interno para ortogonalidade.

Passo 2

Vamos calcular cada termo da combinação linear separadamente. Primeiro,
3u=3,(1,-2,3)=(3,-6,9)

Passo 3

Em seguida,
2w=2,(-2,1,5)=(-4,2,10)

Passo 4

Agora fazemos 3u-v+2w somando componente a componente:
3u-v+2w=(3,-6,9)-(4,0,-1)+(-4,2,10)
Isso dá
(3-4-4,;-6-0+2,;9+1+10)=(-5,,-4,;20)

Passo 5

Para achar k de modo que u+kv seja ortogonal a w, usamos a condição de ortogonalidade:
(u+kv)cdotw=0
O produto interno distribui-se, então
ucdotw+k,(vcdotw)=0

Passo 6

Calculamos ucdotw e vcdotw:
ucdotw=1cdot(-2)+(-2)cdot1+3cdot5=-2-2+15=11,
vcdotw=4cdot(-2)+0cdot1+(-1)cdot5=-8+0-5=-13
Substituindo na equação
11 + k(-13)=0
temos
-13k=-11 Longrightarrow k=1113

Resposta

(a) (-5,-4,20)
(b) 1113

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