Considere
dada por
, com
munido do produto interno
.
(a) Verifique que
é um operador simétrico.
(b) Mostre que
, em que
é o subespaço das matrizes simétricas e
é o subespaço das matrizes antisimétricas.
(c) Determine uma base ortonormal de autovetores de
.
(a) Verifique que
(b) Mostre que
(c) Determine uma base ortonormal de autovetores de
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
com o produto interno
- O operador linear
definido por
O que se pede:
(a) Verificar que é um operador simétrico (ou seja, mostrar que
para todos
).
(b) Mostrar que , onde
é o subespaço das matrizes simétricas e
o das matrizes antissimétricas.
(c) Determinar uma base ortonormal de autovetores de .
(a) Verificar que
(b) Mostrar que
(c) Determinar uma base ortonormal de autovetores de
Passo 2
Comentário e ferramenta útil (produto interno na forma de soma das entradas). Vou mostrar que o produto interno dado é o produto de Frobenius (ou seja, soma dos produtos das entradas correspondentes). Para isso, sejam
e
. Então
Como
e renomeando índices obtemos
Portanto,
é simplesmente a soma entrywise
. Isso facilita cálculo de normas e ortogonalidade.
Passo 3
Provar que
é linear e simétrico.
Linearidade (rápida verificação):
Logo
é linear.
Simetria: calcular
e
e comparar.
Usando que
e que
, temos
Por outro lado,
pois
para matrizes quadradas. Assim
para todos
. Portanto
é simétrico.
Passo 4
Definir
e
e mostrar decomposição direta.
Definições:
Mostrar que qualquer
se escreve de modo único como soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica: proponho
Verificações:
-
, então . -
, então . - Soma:
. Logo toda matriz é soma de um elemento de e de um de .
Unicidade / interseção trivial: se
, então
e
levam a
, logo
. Assim
. Com a existência da soma e interseção trivial, segue que
Passo 5
Mostrar que
e
são os subespaços próprios (autoespaços) de
e determinar autovalores.
Calcule
em
:
logo
é autovetor de
com autovalor
. Para
:
logo
é autovetor com autovalor
. Assim os autovalores possíveis são
e
, e os respectivos autoespaços são exatamente
e
.
Observação útil:
, logo
e os autovalores só podem ser
.
Passo 6
Construir explicitamente uma base ortonormal de autovetores.
Usarei as matrizes canônicas
(
na posição
, zeros nas outras entradas). Pelo passo 2, o produto interno é a soma entrywise, então
e
se
.
Escolha de autovetores:
- Matrizes simétricas (autovalor
):
Verificações rápidas:
-
Cada
é simétrica, portanto . -
Normas:
, . Para a norma ao quadrado é , porque tem duas entradas iguais a , então seu quadrado da norma é , e a divisão por normaliza para 1. -
Produto interno entre eles é
(disjunto nas entradas ou sinais que cancelam), logo são ortonormais entre si. -
Matrizes antissimétricas (autovalor
): Verificações:-
, então . - Norma unitária por mesma razão:
tem duas entradas de módulo , então ao dividir por fica de norma . -
é ortogonal a pois os suportes das entradas e as simetrias/antisimetrias fazem os produtos entrywise somarem zero (explicação: produtos nas posições e aparecem com sinais opostos e cancelam).
-
Conclui-se que o conjunto
é uma base ortonormal de
constituída de autovetores de
: os três primeiros têm autovalor
e o último tem autovalor
.]
Passo 7
Resumo final e confirmação de que cada item do enunciado foi respondido:
- (a) mostrou-se
para todos , logo é simétrico. - (b) construiu-se a decomposição
com termo simétrico e antissimétrico, e mostrou-se que essa soma é direta; portanto . - (c) apresentou-se uma base ortonormal explícita de autovetores (três com autovalor
e uma com autovalor ).
Resposta
(a)
é simétrico, pois
para todos
.
(b)
, com
e decomposição única
(c) Uma base ortonormal de autovetores de
é