Considere T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) dada por T(A)=A^{t}, com M_{2}(\mathbb{R}) munido do produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{t} A\right).
(a) Verifique que T é um operador simétrico.
(b) Mostre que M_{2}(\mathbb{R})=W \oplus W^{\perp}, em que W é o subespaço das matrizes simétricas e W^{\perp} é o subespaço das matrizes antisimétricas.
(c) Determine uma base ortonormal de autovetores de T.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial M_{2}(\mathbb{R}) com o produto interno
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right).
  • O operador linear T:M_{2}(\mathbb{R})\to M_{2}(\mathbb{R}) definido por
T(A)=A^{t}.
O que se pede:
(a) Verificar que T é um operador simétrico (ou seja, mostrar que \langle T(A),B\rangle=\langle A,T(B)\rangle para todos A,B).
(b) Mostrar que M_{2}(\mathbb{R})=W\oplus W^{\perp}, onde W é o subespaço das matrizes simétricas e W^{\perp} o das matrizes antissimétricas.
(c) Determinar uma base ortonormal de autovetores de T.

Passo 2

Comentário e ferramenta útil (produto interno na forma de soma das entradas). Vou mostrar que o produto interno dado é o produto de Frobenius (ou seja, soma dos produtos das entradas correspondentes). Para isso, sejam A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}). Então
\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A\right)=\sum_{i=1}^{2}(B^{t}A)_{ii}=\sum_{i=1}^{2}\sum_{k=1}^{2} (B^{t})_{ik}A_{ki}.
Como (B^{t})_{ik}=b_{ki} e renomeando índices obtemos
\langle A,B\rangle=\sum_{k=1}^{2}\sum_{i=1}^{2} a_{ki}b_{ki}=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}b_{ij}.
Portanto, \langle A,B\rangle é simplesmente a soma entrywise \sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}. Isso facilita cálculo de normas e ortogonalidade.

Passo 3

Provar que T é linear e simétrico.
Linearidade (rápida verificação):
T(A+B)=(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}=T(A)+T(B),\qquad T(\lambda A)=(\lambda A)^{t}=\lambda A^{t}=\lambda T(A).
Logo T é linear.
Simetria: calcular \langle T(A),B\rangle e \langle A,T(B)\rangle e comparar.
\langle T(A),B\rangle=\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A^{t}\right).
Usando que \operatorname{tr}(X^{t})=\operatorname{tr}(X) e que (AB)^{t}=B^{t}A^{t}, temos
\operatorname{tr}\!\left(B^{t}A^{t}\right)=\operatorname{tr}\!\left((AB)^{t}\right)=\operatorname{tr}(AB).
Por outro lado,
\langle A,T(B)\rangle=\operatorname{tr}\!\left((B^{t})^{t}A\right)=\operatorname{tr}(BA)=\operatorname{tr}(AB),
pois \operatorname{tr}(BA)=\operatorname{tr}(AB) para matrizes quadradas. Assim
\langle T(A),B\rangle=\operatorname{tr}(AB)=\langle A,T(B)\rangle
para todos A,B. Portanto T é simétrico.

Passo 4

Definir W e W^{\perp} e mostrar decomposição direta.
Definições:
W=\{S\in M_{2}(\mathbb{R})\mid S^{t}=S\}\quad\text{(matrizes simétricas)},é
W^{\perp}=\{K\in M_{2}(\mathbb{R})\mid K^{t}=-K\}\quad\text{(matrizes antissimétricas ou skew-symmetric)}.é
Mostrar que qualquer A\in M_{2}(\mathbb{R}) se escreve de modo único como soma de uma matriz simétrica e uma antissimétrica: proponho
S=\frac{A+A^{t}}{2},\qquad K=\frac{A-A^{t}}{2}.
Verificações:
  • S^{t}=\frac{A^{t}+A}{2}=S, então S\in W.
  • K^{t}=\frac{A^{t}-A}{2}=-\frac{A-A^{t}}{2}=-K, então K\in W^{\perp}.
  • Soma: S+K=\frac{A+A^{t}}{2}+\frac{A-A^{t}}{2}=A. Logo toda matriz é soma de um elemento de W e de um de W^{\perp}.
Unicidade / interseção trivial: se S\in W\cap W^{\perp}, então S^{t}=S e S^{t}=-S levam a S=-S, logo S=0. Assim W\cap W^{\perp}=\{0\}. Com a existência da soma e interseção trivial, segue que
M_{2}(\mathbb{R})=W\oplus W^{\perp}.

Passo 5

Mostrar que W e W^{\perp} são os subespaços próprios (autoespaços) de T e determinar autovalores.
Calcule T em S\in W:
T(S)=S^{t}=S,
logo S é autovetor de T com autovalor 1. Para K\in W^{\perp}:
T(K)=K^{t}=-K,
logo K é autovetor com autovalor -1. Assim os autovalores possíveis são 1 e -1, e os respectivos autoespaços são exatamente W e W^{\perp}.
Observação útil: T^2(A)=(A^{t})^{t}=A, logo T^2=I e os autovalores só podem ser \pm1.

Passo 6

Construir explicitamente uma base ortonormal de autovetores.
Usarei as matrizes canônicas E_{ij} ( 1 na posição (i,j), zeros nas outras entradas). Pelo passo 2, o produto interno é a soma entrywise, então \|E_{ij}\|=1 e \langle E_{ij},E_{kl}\rangle=0 se (i,j)\neq(k,l).
Escolha de autovetores:
  • Matrizes simétricas (autovalor 1): S_{1}=E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad S_{2}=E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},
S_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(E_{12}+E_{21}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Verificações rápidas:
  • Cada S_{i} é simétrica, portanto T(S_{i})=S_{i}.
  • Normas: \|E_{11}\|^{2}=1, \|E_{22}\|^{2}=1. Para S_{3} a norma ao quadrado é (0^{2}+ (1/\sqrt{2})^{2} + (1/\sqrt{2})^{2}+0^{2})=1, porque E_{12}+E_{21} tem duas entradas iguais a 1, então seu quadrado da norma é 2, e a divisão por \sqrt{2} normaliza para 1.
  • Produto interno entre eles é 0 (disjunto nas entradas ou sinais que cancelam), logo são ortonormais entre si.
  • Matrizes antissimétricas (autovalor -1):
    K_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(E_{12}-E_{21}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
    Verificações:
    • K_{1}^{t}=-K_{1}, então T(K_{1})=-K_{1}.
    • Norma unitária por mesma razão: E_{12}-E_{21} tem duas entradas de módulo 1, então ao dividir por \sqrt{2} fica de norma 1.
    • K_{1} é ortogonal a S_{1},S_{2},S_{3} pois os suportes das entradas e as simetrias/antisimetrias fazem os produtos entrywise somarem zero (explicação: produtos nas posições (1,2) e (2,1) aparecem com sinais opostos e cancelam).
Conclui-se que o conjunto
\mathcal{B}=\left\{\,E_{11},\;E_{22},\;\frac{1}{\sqrt{2}}(E_{12}+E_{21}),\;\frac{1}{\sqrt{2}}(E_{12}-E_{21})\,\right\}
é uma base ortonormal de M_{2}(\mathbb{R}) constituída de autovetores de T: os três primeiros têm autovalor 1 e o último tem autovalor -1.]

Passo 7

Resumo final e confirmação de que cada item do enunciado foi respondido:
  • (a) mostrou-se \langle T(A),B\rangle=\langle A,T(B)\rangle para todos A,B, logo T é simétrico.
  • (b) construiu-se a decomposição A=\dfrac{A+A^{t}}{2}+\dfrac{A-A^{t}}{2} com termo simétrico e antissimétrico, e mostrou-se que essa soma é direta; portanto M_{2}(\mathbb{R})=W\oplus W^{\perp}.
  • (c) apresentou-se uma base ortonormal explícita de autovetores (três com autovalor 1 e uma com autovalor -1).

Resposta

(a) T é simétrico, pois \langle T(A),B\rangle=\operatorname{tr}(B^{t}A^{t})=\operatorname{tr}(AB)=\langle A,T(B)\rangle para todos A,B.
(b) M_{2}(\mathbb{R})=W\oplus W^{\perp}, com
W=\{S\mid S^{t}=S\},\qquad W^{\perp}=\{K\mid K^{t}=-K\},
e decomposição única
A=\frac{A+A^{t}}{2}+\frac{A-A^{t}}{2},\quad \frac{A+A^{t}}{2}\in W,\\ \frac{A-A^{t}}{2}\in W^{\perp}.
(c) Uma base ortonormal de autovetores de T é
E_{11},\qquad E_{22},\qquad \frac{1}{\sqrt{2}}(E_{12}+E_{21})\quad(\text{autovalor }1),
\frac{1}{\sqrt{2}}(E_{12}-E_{21})\quad(\text{autovalor }-1).

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