Considere o espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R}) de polinômios definidos no conjunto de pontos X= \{0,1,2,3,4\}, com produto interno definido por \langle p, q\rangle=\sum_{x=0}^{4} p(x) q(x). Deseja-se encontrar a reta y=a x+b de melhor ajuste para a função p(x)=x^{2} nesse conjunto de pontos. Utilize o procedimento de Gram-Schmidt na sua resolução.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (lista clara):
  • Espaço: polinômios P_{2}(\mathbb{R}), mas considerados apenas nas abscissas X=\{0,1,2,3,4\}.
  • Produto interno definido por
\langle p,q\rangle=\sum_{x=0}^{4} p(x)q(x).
  • Polinômio que queremos aproximar: p(x)=x^{2}.
  • Subespaço de aproximação: as retas (polinômios de grau \le 1), ou seja a reta y=ax+b.
  • Pedido: encontrar a reta y=ax+b de melhor ajuste a p(x)=x^{2} em X, usando o procedimento de Gram–Schmidt.
Informações úteis que vamos precisar (extraídas do conjunto X; vamos calcular somas de potências de x em 0,1,2,3,4): valores como \sum_{x=0}^{4}1,\\ \sum_{x=0}^{4}x,\\ \sum_{x=0}^{4}x^{2}, etc. Estas somas serão usadas no cálculo do produto interno entre polinômios.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática do que vamos fazer):
  • A reta de melhor ajuste (no sentido dos mínimos quadrados com esse produto interno discreto) é a projeção ortogonal de p(x)=x^{2} sobre o subespaço W=\operatorname{span}\{1,x\}.
  • Procedimento prático: aplicar Gram–Schmidt ao conjunto gerador \{1,x\} para obter uma base ortogonal \{u_{1},u_{2}\} de W. Para uma base ortogonal, a projeção de p é
\operatorname{proj}_{W} p=\sum_{i=1}^{2}\frac{\langle p,u_{i}\rangle}{\langle u_{i},u_{i}\rangle}\,u_{i}.
  • Explicando a fórmula: \langle p,u_{i}\rangle mede “quanto” de u_{i} há em p; dividir por \langle u_{i},u_{i}\rangle normaliza esse quanto; multiplicando por u_{i} obtemos a componente de p nessa direção. Somando as duas componentes obtemos a projeção no subespaço W.

Passo 3

Calcular somas necessárias (vamos usar essas somas para todos os produtos internos):
  • \displaystyle \sum_{x=0}^{4}1=5.
  • \displaystyle \sum_{x=0}^{4}x=0+1+2+3+4=10.
  • \displaystyle \sum_{x=0}^{4}x^{2}=0+1+4+9+16=30.
  • \displaystyle \sum_{x=0}^{4}x^{3}=0+1+8+27+64=100.
  • \displaystyle \sum_{x=0}^{4}x^{4}=0+1+16+81+256=354.
Comentário prático: ao calcular \langle q,r\rangle com polinômios q,r, expandir o produto e usar as somas acima permite calcular rapidamente.

Passo 4

Aplicar Gram–Schmidt à base \{v_{1}=1,\\ v_{2}=x\} para obter uma base ortogonal de W:
  • Defino u_{1}=v_{1}=1.
  • Calculo a projeção de v_{2} sobre u_{1}:
\text{proj}_{u_{1}} v_{2}=\frac{\langle v_{2},u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}u_{1}.
Aqui \langle v_{2},u_{1}\rangle=\langle x,1\rangle=\sum_{x=0}^{4}x=10 (peguei esse valor das somas do Passo 3) e \langle u_{1},u_{1}\rangle=\langle 1,1\rangle=5. Assim
\text{proj}_{u_{1}} v_{2}=\frac{10}{5}\cdot 1=2.
  • Então
u_{2}=v_{2}-\text{proj}_{u_{1}} v_{2}=x-2.
Verificação rápida (importante): \langle u_{2},u_{1}\rangle=\langle x-2,1\rangle=\sum x -2\sum 1=10-2\cdot5=0. Logo u_{1} e u_{2} são ortogonais, como queríamos.

Passo 5

Calcular as normas (ou quadrados das normas) das novas bases ortogonais:
  • \langle u_{1},u_{1}\rangle=\langle 1,1\rangle=5.
  • \langle u_{2},u_{2}\rangle=\langle x-2,x-2\rangle=\langle x^{2}-4x+4\rangle.
    Usando as somas do Passo 3:
\langle u_{2},u_{2}\rangle=\sum_{x=0}^{4}x^{2}-4\sum_{x=0}^{4}x+4\sum_{x=0}^{4}1=30-4\cdot10+4\cdot5=30-40+20=10.

Passo 6

Calcular as componentes da projeção de p(x)=x^{2} na base ortogonal \{u_{1},u_{2}\}:
  • Primeiro coeficiente:
\langle p,u_{1}\rangle=\langle x^{2},1\rangle=\sum_{x=0}^{4}x^{2}=30.
Portanto a componente na direção u_{1} é
\frac{\langle p,u_{1}\rangle}{\langle u_{1},u_{1}\rangle}=\frac{30}{5}=6.
Isto corresponde a 6\cdot u_{1}=6\cdot 1=6.
  • Segundo coeficiente:
\langle p,u_{2}\rangle=\langle x^{2},x-2\rangle=\langle x^{3}-2x^{2}\rangle=\sum_{x=0}^{4}x^{3}-2\sum_{x=0}^{4}x^{2}=100-2\cdot30=100-60=40.
Portanto a componente na direção u_{2} é
\frac{\langle p,u_{2}\rangle}{\langle u_{2},u_{2}\rangle}=\frac{40}{10}=4.
Isto corresponde a 4\cdot u_{2}=4(x-2)=4x-8.

Passo 7

Somar as componentes para obter a projeção (ou seja, a reta de melhor ajuste):
\operatorname{proj}_{W}p = 6 + (4x-8) = 4x -2.
Interpretação: a projeção é o polinômio de grau \le 1 que minimiza o erro em norma induzida pelo produto interno dado; em termos de reta y=ax+b temos a=4 e b=-2.
Breve comentário pedagógico: este resultado poderia também ser obtido resolvendo as equações normais dos mínimos quadrados (sistema para a,b usando as somas que já calculamos); usar Gram–Schmidt deixa explícito o papel da ortogonalidade das componentes.

Resposta

y=4x-2

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