Considere o espaço vetorial
de polinômios definidos no conjunto de pontos
, com produto interno definido por
. Deseja-se encontrar a reta
de melhor ajuste para a função
nesse conjunto de pontos. Utilize o procedimento de Gram-Schmidt na sua resolução.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (lista clara):
- Espaço: polinômios
, mas considerados apenas nas abscissas . - Produto interno definido por
- Polinômio que queremos aproximar:
. - Subespaço de aproximação: as retas (polinômios de grau
), ou seja a reta . - Pedido: encontrar a reta
de melhor ajuste a em , usando o procedimento de Gram–Schmidt.
Informações úteis que vamos precisar (extraídas do conjunto
; vamos calcular somas de potências de
em
): valores como
etc. Estas somas serão usadas no cálculo do produto interno entre polinômios.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática do que vamos fazer):
- A reta de melhor ajuste (no sentido dos mínimos quadrados com esse produto interno discreto) é a projeção ortogonal de
sobre o subespaço . - Procedimento prático: aplicar Gram–Schmidt ao conjunto gerador
para obter uma base ortogonal de . Para uma base ortogonal, a projeção de é
- Explicando a fórmula:
mede “quanto” de há em ; dividir por normaliza esse quanto; multiplicando por obtemos a componente de nessa direção. Somando as duas componentes obtemos a projeção no subespaço .
Passo 3
Calcular somas necessárias (vamos usar essas somas para todos os produtos internos):
Comentário prático: ao calcular
com polinômios
, expandir o produto e usar as somas acima permite calcular rapidamente.
Passo 4
Aplicar Gram–Schmidt à base
para obter uma base ortogonal de
:
- Defino
. - Calculo a projeção de
sobre :
Aqui
(peguei esse valor das somas do Passo 3) e
. Assim
- Então
Verificação rápida (importante):
. Logo
e
são ortogonais, como queríamos.
Passo 5
Calcular as normas (ou quadrados das normas) das novas bases ortogonais:
-
-
.
Usando as somas do Passo 3:
Passo 6
Calcular as componentes da projeção de
na base ortogonal
:
- Primeiro coeficiente:
Portanto a componente na direção
é
Isto corresponde a
.
- Segundo coeficiente:
Portanto a componente na direção
é
Isto corresponde a
.
Passo 7
Somar as componentes para obter a projeção (ou seja, a reta de melhor ajuste):
Interpretação: a projeção é o polinômio de grau
que minimiza o erro em norma induzida pelo produto interno dado; em termos de reta
temos
e
.
Breve comentário pedagógico: este resultado poderia também ser obtido resolvendo as equações normais dos mínimos quadrados (sistema para
usando as somas que já calculamos); usar Gram–Schmidt deixa explícito o papel da ortogonalidade das componentes.