Considere as transformações lineares
\begin{aligned} & T_{1}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathcal{P}_{2}, T_{1}\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}\right)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \\\ & T_{2}: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T_{2}(p(x))=(p(0), p(1), p(2)) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá duas transformações lineares:
\begin{aligned} & T_{1}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathcal{P}_{2}, \qquad T_{1}\left(a_{0}, a_{1}, a_{2}\right)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},\\[4pt] & T_{2}: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \qquad T_{2}(p(x))=(p(0),p(1),p(2)). \end{aligned}
As o enunciado não especifica perguntas, vou responder às solicitações que tipicamente aparecem para esse tipo de exercício (e que são úteis para a prova):
  • (i) Encontrar as matrizes de T_{1} e T_{2} relativas às bases canônicas (base padrão de \mathbb{R}^{3} e base \{1,x,x^{2}\} de \mathcal{P}_{2}).
  • (ii) Encontrar a matriz de T_{2}\circ T_{1} e a sua expressão explícita como aplicação em vetores (a_{0},a_{1},a_{2}).
  • (iii) Verificar se T_{1} e T_{2} são isomorfismos (bijetivas) e, se sim, achar a inversa de T_{2} explicitamente (fórmula e matriz inversa).]

Passo 2

Primeiro explico como construir a matriz de uma transformação linear entre espaços com bases dadas. Se F:V\to W é linear, e \mathcal{B}_V=(v_1,\dots,v_n) e \mathcal{B}_W=(w_1,\dots,w_m) são bases, então a matriz de F relativa a essas bases tem como j‑ésima coluna as coordenadas de F(v_j) na base \mathcal{B}_W. Aqui usamos:
  • base canônica de \mathbb{R}^{3}: e_{1}=(1,0,0),\\ e_{2}=(0,1,0),\\ e_{3}=(0,0,1);
  • base de \mathcal{P}_{2}: b_{1}=1,\\ b_{2}=x,\\ b_{3}=x^{2}.
Vou aplicar essa regra: calcular imagens dos vetores-base e escrever suas coordenadas nas bases-alvo.

Passo 3

Matriz de T_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathcal{P}_{2}.
Aplicar T_{1} aos vetores da base de \mathbb{R}^{3}:
\begin{aligned} T_{1}(e_{1}) &= T_{1}(1,0,0) = 1 = 1\cdot b_{1} + 0\cdot b_{2} + 0\cdot b_{3},\\[4pt] T_{1}(e_{2}) &= T_{1}(0,1,0) = x = 0\cdot b_{1} + 1\cdot b_{2} + 0\cdot b_{3},\\[4pt] T_{1}(e_{3}) &= T_{1}(0,0,1) = x^{2} = 0\cdot b_{1} + 0\cdot b_{2} + 1\cdot b_{3}. \end{aligned}
As coordenadas desses três polinômios na base \{1,x,x^{2}\} são exatamente as colunas da matriz de T_{1}. Portanto a matriz de T_{1} (relativa às bases indicadas) é a matriz identidade 3\times3:
\boxed{\;[T_{1}] = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}\; }.
Interpretação didática: T_{1} apenas interpreta o vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) como o polinômio a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}. Por isso sua matriz é a identidade (coordenadas preservadas).]

Passo 4

Matriz de T_{2}:\mathcal{P}_{2}\to\mathbb{R}^{3}.
Aplicar T_{2} aos vetores da base de \mathcal{P}_{2}:
\begin{aligned} T_{2}(b_{1}) &= T_{2}(1) = (1,1,1) \quad\text{porque }1(0)=1,\\\ 1(1)=1,\\\ 1(2)=1,\\[4pt] T_{2}(b_{2}) &= T_{2}(x) = (0,1,2) \quad\text{porque }x(0)=0,\\ x(1)=1,\\ x(2)=2,\\[4pt] T_{2}(b_{3}) &= T_{2}(x^{2}) = (0,1,4) \quad\text{porque }x^{2}(0)=0,\\ x^{2}(1)=1,\\ x^{2}(2)=4. \end{aligned}
Cada uma dessas imagens é um vetor em \mathbb{R}^{3}; elas formam as colunas da matriz de T_{2}. Assim:
\boxed{\;[T_{2}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[2pt] 1 & 1 & 1\\[2pt] 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\; }.
Comentário didático: a coluna j dá os valores do j-ésimo polinômio-base avaliado em x=0,1,2.]

Passo 5

Matriz e fórmula da composição T_{2}\circ T_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}.
A matriz da composição (nas bases canônicas escolhidas) é o produto das matrizes:
[T_{2}\circ T_{1}] = [T_{2}]\,[T_{1}].
Como [T_{1}] é a identidade, o produto é igual a [T_{2}]. Portanto
\boxed{\;[T_{2}\circ T_{1}] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[2pt] 1 & 1 & 1\\[2pt] 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\; }.
Também posso escrever T_{2}\circ T_{1} de forma explícita sobre um vetor (a_{0},a_{1},a_{2}). Seja p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}. Então
\begin{aligned} (T_{2}\circ T_{1})(a_{0},a_{1},a_{2}) &= T_{2}\bigl(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\bigr)\\[4pt] &= \bigl(p(0),\,p(1),\,p(2)\bigr)\\[4pt] &= \bigl(a_{0},\,a_{0}+a_{1}+a_{2},\,a_{0}+2a_{1}+4a_{2}\bigr). \end{aligned}
Isto é coerente com multiplicar a matriz acima pelo vetor coluna \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificar injetividade/sobrejetividade (isomorfia) e determinante.
  • Para T_{1}: como a matriz de T_{1} é a identidade, seu determinante é 1\neq 0. Logo T_{1} é invertível (bijetiva). Intuitivamente, cada vetor (a_{0},a_{1},a_{2}) corresponde a exatamente um polinômio de grau \le 2.
  • Para T_{2}: note que \dim\mathcal{P}_{2}=3 e \dim\mathbb{R}^{3}=3. Se a kernel de T_{2} for trivial então T_{2} é injetiva e, portanto em espaços de dimensão finita iguais, bijetiva. Suponha p\in\mathcal{P}_{2} com T_{2}(p)=(p(0),p(1),p(2))=(0,0,0). Então p tem raízes em 0,1,2. Um polinômio não nulo de grau \le 2 pode ter no máximo 2 raízes distintas; portanto a única possibilidade é p\equiv 0. Assim \ker T_{2}=\{0\} e T_{2} é injetiva e, por dimensões iguais, bijetiva. Portanto T_{2} também é um isomorfismo.
Cálculo do determinante de [T_{2}] (verificação numérica):
\det\begin{pmatrix}1&0&0\\[2pt]1&1&1\\[2pt]1&2&4\end{pmatrix} = 1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]2&4\end{pmatrix} = 1\cdot(1\cdot 4 - 1\cdot 2) = 2 \neq 0.
Determinante não nulo confirma invertibilidade.]

Passo 7

Encontrar a inversa de [T_{2}): fórmula e matriz.
Queremos, dado (b_{0},b_{1},b_{2})\in\mathbb{R}^{3} (onde b_{i}=p(i) para algum p\in\mathcal{P}_{2}), recuperar os coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) de p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
As equações são:
\begin{cases} b_{0} = a_{0},\\[4pt] b_{1} = a_{0}+a_{1}+a_{2},\\[4pt] b_{2} = a_{0}+2a_{1}+4a_{2}. \end{cases}
Substituímos a_{0}=b_{0}\] nas outras duas: \[\begin{cases} b_{1}-b_{0} = a_{1}+a_{2},\\[4pt] b_{2}-b_{0} = 2a_{1}+4a_{2}. \end{cases}\] Denote \[u=b_{1}-b_{0} e v=b_{2}-b_{0}. Então
\begin{cases} a_{1}+a_{2}=u,\\[4pt] 2a_{1}+4a_{2}=v. \end{cases}
Subtraindo 2\] vezes a primeira da segunda: \[(2a_{1}+4a_{2}) - 2(a_{1}+a_{2}) = v - 2u \quad\Rightarrow\quad 2a_{2} = v - 2u,\] portanto \[a_{2} = \dfrac{v-2u}{2} = \dfrac{b_{2}-2b_{1}+b_{0}}{2}.\] Em seguida \[a_{1} = u - a_{2} = (b_{1}-b_{0}) - \dfrac{b_{2}-2b_{1}+b_{0}}{2} = \dfrac{4b_{1}-3b_{0}-b_{2}}{2}.\] E \(a_{0}=b_{0}.
Assim a inversa T_{2}^{-1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathcal{P}_{2} é dada por
T_{2}^{-1}(b_{0},b_{1},b_{2}) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2},
onde
\begin{aligned} a_{0} &= b_{0},\\[4pt] a_{1} &= \dfrac{4b_{1}-3b_{0}-b_{2}}{2},\\[6pt] a_{2} &= \dfrac{b_{2}-2b_{1}+b_{0}}{2}. \end{aligned}
A matriz de T_{2}^{-1} (mapeando o vetor \begin{pmatrix}b_{0}\b_{1}\b_{2}\end{pmatrix} para o vetor de coeficientes \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix}) é, portanto,
\boxed{\;[T_{2}]^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\tfrac{3}{2} & 2 & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & -1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}\; }.
(Verificação rápida: multiplicando [T_{2}]^{-1} por [T_{2}] obtém‑se a identidade.)]

Passo 8

Conclusões finais (intuitivas e para a prova):
  • Ambas as transformações T_{1} e T_{2} são isomorfismos entre espaços de dimensão 3.
  • [T_{1}] é a identidade (pois T_{1} interpreta um vetor como o polinômio com esses coeficientes).
  • [T_{2}] é a matriz de avaliação em 0,1,2; seu determinante é 2, logo invertível.
  • A inversa T_{2}^{-1} obtém os coeficientes do polinômio a partir dos valores em 0,1,2 e sua matriz foi calculada explicitamente.

Resposta

[T_{1}] = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}
[T_{2}] = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[2pt]1 & 1 & 1\\[2pt]1 & 2 & 4\end{pmatrix}
[T_{2}\circ T_{1}] = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[2pt]1 & 1 & 1\\[2pt]1 & 2 & 4\end{pmatrix}
\det([T_{2}]) = 2 \neq 0 (logo T_{2} é invertível)
[T_{2}]^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]-\dfrac{3}{2} & 2 & -\dfrac{1}{2}\\[6pt]\dfrac{1}{2} & -1 & \dfrac{1}{2}\end{pmatrix}
T_{2}^{-1}(b_{0},b_{1},b_{2}) = b_{0} + \dfrac{4b_{1}-3b_{0}-b_{2}}{2}\,x + \dfrac{b_{2}-2b_{1}+b_{0}}{2}\,x^{2}]

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