As o enunciado não especifica perguntas, vou responder às solicitações que tipicamente aparecem para esse tipo de exercício (e que são úteis para a prova):
(i) Encontrar as matrizes de T_{1} e T_{2} relativas às bases canônicas (base padrão de \mathbb{R}^{3} e base \{1,x,x^{2}\} de \mathcal{P}_{2}).
(ii) Encontrar a matriz de T_{2}\circ T_{1} e a sua expressão explícita como aplicação em vetores (a_{0},a_{1},a_{2}).
(iii) Verificar se T_{1} e T_{2} são isomorfismos (bijetivas) e, se sim, achar a inversa de T_{2} explicitamente (fórmula e matriz inversa).]
Passo 2
Primeiro explico como construir a matriz de uma transformação linear entre espaços com bases dadas. Se F:V\to W é linear, e \mathcal{B}_V=(v_1,\dots,v_n) e \mathcal{B}_W=(w_1,\dots,w_m) são bases, então a matriz de F relativa a essas bases tem como j‑ésima coluna as coordenadas de F(v_j) na base \mathcal{B}_W. Aqui usamos:
base canônica de \mathbb{R}^{3}: e_{1}=(1,0,0),\\ e_{2}=(0,1,0),\\ e_{3}=(0,0,1);
base de \mathcal{P}_{2}: b_{1}=1,\\ b_{2}=x,\\ b_{3}=x^{2}.
Vou aplicar essa regra: calcular imagens dos vetores-base e escrever suas coordenadas nas bases-alvo.
Passo 3
Matriz de T_{1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathcal{P}_{2}.
Aplicar T_{1} aos vetores da base de \mathbb{R}^{3}:
As coordenadas desses três polinômios na base \{1,x,x^{2}\} são exatamente as colunas da matriz de T_{1}. Portanto a matriz de T_{1} (relativa às bases indicadas) é a matriz identidade 3\times3:
Interpretação didática: T_{1} apenas interpreta o vetor de coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) como o polinômio a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}. Por isso sua matriz é a identidade (coordenadas preservadas).]
Passo 4
Matriz de T_{2}:\mathcal{P}_{2}\to\mathbb{R}^{3}.
Aplicar T_{2} aos vetores da base de \mathcal{P}_{2}:
Isto é coerente com multiplicar a matriz acima pelo vetor coluna \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix}.]
Passo 6
Verificar injetividade/sobrejetividade (isomorfia) e determinante.
Para T_{1}: como a matriz de T_{1} é a identidade, seu determinante é 1\neq 0. Logo T_{1} é invertível (bijetiva). Intuitivamente, cada vetor (a_{0},a_{1},a_{2}) corresponde a exatamente um polinômio de grau \le 2.
Para T_{2}: note que \dim\mathcal{P}_{2}=3 e \dim\mathbb{R}^{3}=3. Se a kernel de T_{2} for trivial então T_{2} é injetiva e, portanto em espaços de dimensão finita iguais, bijetiva. Suponha p\in\mathcal{P}_{2} com T_{2}(p)=(p(0),p(1),p(2))=(0,0,0). Então p tem raízes em 0,1,2. Um polinômio não nulo de grau \le 2 pode ter no máximo 2 raízes distintas; portanto a única possibilidade é p\equiv 0. Assim \ker T_{2}=\{0\} e T_{2} é injetiva e, por dimensões iguais, bijetiva. Portanto T_{2} também é um isomorfismo.
Cálculo do determinante de [T_{2}] (verificação numérica):
Queremos, dado (b_{0},b_{1},b_{2})\in\mathbb{R}^{3} (onde b_{i}=p(i) para algum p\in\mathcal{P}_{2}), recuperar os coeficientes (a_{0},a_{1},a_{2}) de p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
Substituímos a_{0}=b_{0}\] nas outras duas:
\[\begin{cases} b_{1}-b_{0} = a_{1}+a_{2},\\[4pt] b_{2}-b_{0} = 2a_{1}+4a_{2}. \end{cases}\]
Denote \[u=b_{1}-b_{0} e v=b_{2}-b_{0}. Então
Subtraindo 2\] vezes a primeira da segunda:
\[(2a_{1}+4a_{2}) - 2(a_{1}+a_{2}) = v - 2u \quad\Rightarrow\quad 2a_{2} = v - 2u,\]
portanto
\[a_{2} = \dfrac{v-2u}{2} = \dfrac{b_{2}-2b_{1}+b_{0}}{2}.\]
Em seguida
\[a_{1} = u - a_{2} = (b_{1}-b_{0}) - \dfrac{b_{2}-2b_{1}+b_{0}}{2} = \dfrac{4b_{1}-3b_{0}-b_{2}}{2}.\]
E \(a_{0}=b_{0}.
Assim a inversa T_{2}^{-1}:\mathbb{R}^{3}\to\mathcal{P}_{2} é dada por
A matriz de T_{2}^{-1} (mapeando o vetor \begin{pmatrix}b_{0}\b_{1}\b_{2}\end{pmatrix} para o vetor de coeficientes \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix}) é, portanto,