Prove que se
, então
são LD.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre vetores
e pede para provar que os vetores
são linearmente dependentes (LD).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A combinação de cross products acima é o vetor nulo.
- Precisa-se concluir que existe uma combinação linear não trivial que zere
.
Passo 2
Relembrando definições e propriedades úteis (explicadas devagarinho):
- Produto vetorial (cross product): para
, o vetor é perpendicular a e a . Assim, e . - Produto escalar (dot product):
é um número; se um vetor é perpendicular a outro, o produto escalar é zero. - Produto misto (ou produto escalar triplo): para
,
é um número que mede o volume (orientado) do paralelepípedo determinado por
. Propriedades cruciais:
- É totalmente alternante: trocar duas colunas muda o sinal; se duas vetores são iguais, o produto é zero.
- É igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de
; portanto, se esse produto for zero, as três colunas são linearmente dependentes (determinante zero). - Linearmente dependentes em
: três vetores são LD se estiverem no mesmo plano (coplanares) ou se algum for o vetor nulo. Em isso equivale ao produto escalar triplo ser zero.
Passo 3
Faça o produto escalar de ambos os lados da igualdade dada com
. Ou seja, tome o dot com
:
Usando linearidade do produto escalar,
Agora aplique as propriedades:
porque
é perpendicular a
; igualmente
(é um produto misto com vetores repetidos). Assim sobra
Portanto o produto escalar triplo
é zero.
Passo 4
Interprete o significado de
. Existem dois casos a considerar:
- Se
, então e são colineares (paralelos) e, portanto, e já são LD; com um terceiro vetor qualquer, o conjunto é LD (porque há pelo menos dois vetores colineares). - Se
, então é um vetor normal ao plano gerado por e . A condição
diz que
é perpendicular a
. Mas ser perpendicular ao normal ao plano significa que
pertence ao mesmo plano gerado por
e
. Logo
,
e
são coplanares, o que implica que são LD (três vetores em um plano 2D são linearmente dependentes).
Em ambas as situações concluímos que
são linearmente dependentes.
Passo 5
(Argumento alternativo curto, se preferir visão por determinante) Como
é igual ao determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de
, ter esse determinante igual a zero significa que as colunas são linearmente dependentes. Logo
são LD.
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes.