Prove que se \vec{u} \times \vec{v}+\vec{v} \times \vec{w}+\vec{w} \times \vec{u}=0, então \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são LD.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre vetores
\vec{u}\times\vec{v}+\vec{v}\times\vec{w}+\vec{w}\times\vec{u}=0,
e pede para provar que os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes (LD).
Informações relevantes fornecidas:
  • A combinação de cross products acima é o vetor nulo.
  • Precisa-se concluir que existe uma combinação linear não trivial que zere \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 2

Relembrando definições e propriedades úteis (explicadas devagarinho):
  • Produto vetorial (cross product): para \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R}^3, o vetor \vec{a}\times\vec{b} é perpendicular a \vec{a} e a \vec{b}. Assim, \vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0 e \vec{b}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0.
  • Produto escalar (dot product): \vec{a}\cdot\vec{b} é um número; se um vetor é perpendicular a outro, o produto escalar é zero.
  • Produto misto (ou produto escalar triplo): para \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in\mathbb{R}^3,
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})
é um número que mede o volume (orientado) do paralelepípedo determinado por \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Propriedades cruciais:
  • É totalmente alternante: trocar duas colunas muda o sinal; se duas vetores são iguais, o produto é zero.
  • É igual ao determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são as coordenadas de \vec{a},\vec{b},\vec{c}; portanto, se esse produto for zero, as três colunas são linearmente dependentes (determinante zero).
  • Linearmente dependentes em \mathbb{R}^3: três vetores são LD se estiverem no mesmo plano (coplanares) ou se algum for o vetor nulo. Em \mathbb{R}^3 isso equivale ao produto escalar triplo ser zero.

Passo 3

Faça o produto escalar de ambos os lados da igualdade dada com \vec{u}. Ou seja, tome o dot com \vec{u}:
\vec{u}\cdot\big(\vec{u}\times\vec{v}+\vec{v}\times\vec{w}+\vec{w}\times\vec{u}\big)=\vec{u}\cdot\vec{0}=0.
Usando linearidade do produto escalar,
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})+\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})+\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})=0.
Agora aplique as propriedades: \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 porque \vec{u}\times\vec{v} é perpendicular a \vec{u}; igualmente \vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{u})=0 (é um produto misto com vetores repetidos). Assim sobra
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0.
Portanto o produto escalar triplo \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é zero.

Passo 4

Interprete o significado de \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0. Existem dois casos a considerar:
  1. Se \vec{v}\times\vec{w}=\vec{0}, então \vec{v} e \vec{w} são colineares (paralelos) e, portanto, \vec{v} e \vec{w} já são LD; com um terceiro vetor \vec{u} qualquer, o conjunto \{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\} é LD (porque há pelo menos dois vetores colineares).
  2. Se \vec{v}\times\vec{w}\neq\vec{0}, então \vec{v}\times\vec{w} é um vetor normal ao plano gerado por \vec{v} e \vec{w}. A condição
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0
diz que \vec{u} é perpendicular a \vec{v}\times\vec{w}. Mas ser perpendicular ao normal ao plano significa que \vec{u} pertence ao mesmo plano gerado por \vec{v} e \vec{w}. Logo \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são coplanares, o que implica que são LD (três vetores em um plano 2D são linearmente dependentes).
Em ambas as situações concluímos que \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes.

Passo 5

(Argumento alternativo curto, se preferir visão por determinante) Como \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) é igual ao determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de \vec{u},\vec{v},\vec{w}, ter esse determinante igual a zero significa que as colunas são linearmente dependentes. Logo \vec{u},\vec{v},\vec{w} são LD.

Resposta

Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes.

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