associados aos autovalores e , respectivamente. Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear que age sobre matrizes . A gente tem quatro autovetores dados e seus respectivos autovalores. Nosso objetivo aqui é descobrir como esse operador transforma qualquer matriz .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores de operadores lineares. A ideia é expressar uma matriz qualquer como uma combinação dos autovetores fornecidos e, então, aplicar usando os autovalores correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os autovetores e seus autovalores:
Nosso alvo é a matriz genérica . Queremos escrever como uma combinação linear desses autovetores:
Passo 3
Vamos montar essa combinação linear:
Somando as matrizes:
Agora, igualamos os elementos correspondentes:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os coeficientes c + w = z implies c = z - w :
De a + (z - w) = x implies a = x - z + w .
De a = x - z + w, b = y, c = z - w, d = w .
De , substituindo :
De , substituindo :
Então, temos:
Passo 5
Agora que temos os coeficientes, podemos aplicar o operador T(A) = a T(v1) + b T(v2) + c T(v3) + d T(v4) usando a linearidade e os autovalores. Como T(A) = a lambda1 v1 + b lambda2 v2 + c lambda3 v3 + d lambda4 v4 é linear:
T(A) = a cdot 1 cdot v1 + b cdot (-1) cdot v2 + c cdot 2 cdot v3 + d cdot 0 cdot v4
E sabemos que T(A) = a v1 - b v2 + 2c v3 . Portanto:
Substituindo os autovalores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos T(A) = (x - z + w) 1 & 0 0 & 0 - y 0 & 1 0 & 0 + 2(z - w) 1 & 0 1 & 0 pelos valores que encontramos:
(x - z + w) 1 & 0 0 & 0 = x - z + w & 0 0 & 0
Vamos fazer as multiplicações:
- y 0 & 1 0 & 0 = 0 & -y 0 & 0
2(z - w) 1 & 0 1 & 0 = 2(z - w) & 0 2(z - w) & 0
Passo 7
Agora, somamos todas essas matrizes:
T(A) = x - z + w & 0 0 & 0 + 0 & -y 0 & 0 + 2(z - w) & 0 2(z - w) & 0