Considere T: M(2,2) M(2,2) o operador linear com autovetores
v1=[ll 1 & 0 0 & 0 ], v2=[ll 0 & 1 0 & 0 ], v3=[ll 1 & 0 1 & 0 ], v4=[ll 0 & 0 1 & 1 ]
associados aos autovalores lambda1=1, lambda2=-1, lambda3=2 e lambda4=0, respectivamente. Determine
T([cc x & y z & w ])

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear x & y z & w que age sobre matrizes . A gente tem quatro autovetores dados e seus respectivos autovalores. Nosso objetivo aqui é descobrir como esse operador transforma qualquer matriz .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores de operadores lineares. A ideia é expressar uma matriz qualquer como uma combinação dos autovetores fornecidos e, então, aplicar usando os autovalores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovetores e seus autovalores:
v1 = 1 & 0 0 & 0 lambda1 = 1
v2 = 0 & 1 0 & 0 lambda2 = -1
v3 = 1 & 0 1 & 0 lambda3 = 2
v4 = 0 & 0 1 & 1 lambda4 = 0
Nosso alvo é a matriz genérica x & y z & w . Queremos escrever A = a v1 + b v2 + c v3 + d v4 como uma combinação linear desses autovetores:

Passo 3

Vamos montar essa combinação linear:
x & y z & w = a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 0 & 0 + c 1 & 0 1 & 0 + d 0 & 0 1 & 1
Somando as matrizes:
x & y z & w = a + c & b c + d & d
Agora, igualamos os elementos correspondentes:
a + c = x b = y c + d = z d = w

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os coeficientes c + w = z implies c = z - w :
  1. De a + (z - w) = x implies a = x - z + w .
  2. De a = x - z + w, b = y, c = z - w, d = w .
  3. De , substituindo :
  4. De , substituindo :
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos os coeficientes, podemos aplicar o operador T(A) = a T(v1) + b T(v2) + c T(v3) + d T(v4) usando a linearidade e os autovalores. Como T(A) = a lambda1 v1 + b lambda2 v2 + c lambda3 v3 + d lambda4 v4 é linear:
T(A) = a cdot 1 cdot v1 + b cdot (-1) cdot v2 + c cdot 2 cdot v3 + d cdot 0 cdot v4
E sabemos que T(A) = a v1 - b v2 + 2c v3 . Portanto:
Substituindo os autovalores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos T(A) = (x - z + w) 1 & 0 0 & 0 - y 0 & 1 0 & 0 + 2(z - w) 1 & 0 1 & 0 pelos valores que encontramos:
(x - z + w) 1 & 0 0 & 0 = x - z + w & 0 0 & 0
Vamos fazer as multiplicações:
- y 0 & 1 0 & 0 = 0 & -y 0 & 0
2(z - w) 1 & 0 1 & 0 = 2(z - w) & 0 2(z - w) & 0

Passo 7

Agora, somamos todas essas matrizes:
T(A) = x - z + w & 0 0 & 0 + 0 & -y 0 & 0 + 2(z - w) & 0 2(z - w) & 0
Somando elemento a elemento:
T(A) = (x - z + w) + 0 + 2(z - w) & 0 + (-y) + 0 0 + 0 + 2(z - w) & 0 + 0 + 0
Simplificando cada elemento:
  • Elemento (1,1):
    x - z + w + 2z - 2w = x + z - w
  • Elemento (1,2):
    -y
  • Elemento (2,1):
    2(z - w)
  • Elemento (2,2):
    0

Resposta

T( x & y z & w ) = x + z - w & -y 2(z - w) & 0

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